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用向量解决立体几何问题的探究 立体几何是高中数学的一个重要内容，从平面几何到立体几何是一道难度较高的台阶，立体几何成了中学生进入高中数学学习的又一道障碍，也是学生对数学学习产生分化的一个分水岭，学生们往往对立体几何的学习倍感畏惧。究其原因，不外乎沿袭平面几何的思维，缺乏空间想象力，造成思维受阻。因此，培养学生空间想象力，突破空间思维上的障碍，是学好立体几何的关键。用传统的方法去解决一直是困绕许多同学的难题，如何去找、作、证、求，让许多同学有时觉得无从下手，有一种有力使不出的感觉。那么有什么方法能够解决这一困绕老师和学生的难题呢？新教材“向量”这一章节的设置，向量在立体几何的引进及应用就解决了传统方法中所存在的诸多弊端，为我们解决立体几何的有关问题提供了强有力的工具。下就这个问题作一些说明，仅供大家参考，不当之处尽请批评指正。 一、解决有关平行问题的方法：1：线线平行 a=b2：线面平行 aN（平面的法向量）=03：面面平行 N1=N2（N1、N2分别是两个平面的法向量）传统的方法来处理，往往需要找、作、证，但有些学生找不到，作不出，证不出来，拿到这类问题就发怵，心理紧张，这是难点之一；定义、定理及有关公理的使用和说理，往往学生说不清，说不明甚至张冠李戴或遗忘，造成解题的失分，这是难点之二。学生由此而丧失了对立体几何解题的信心和勇气。向量方法的引入和使用使上述烦琐的证明及说理简单化，这就是把立体几何问题代数化，公式化，使学生有了新鲜感，从而激发了学生的学习立体几何的兴趣和积极性。“兴趣是最好的老师”，其所带来的结果就可想而知。二、解决有关垂直问题的方法：1：线线垂直 ab=02：线面垂直 al1=0 al2=0（其中l1、 l2为平面内两条相交直线）3：面面垂直 N1N2=0 （N1、N2分别是两个平面的法向量）例题1：ABCDA1B1C1D1xQyz图（1）P已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC、CD上的动点，且PQ=，建立如图所示的坐标系。（）确定P，Q的位置，使得B1QD1P（）当B1QD1P时，求二面角C1PQA的大小分析：本题主要考查空间直角坐标系的概念，空间向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法，考查运用空间向量研究空间图形的数学思想方法。分析：（1）建立空间直角坐标系如图（2），写出相关点的坐标。（3）设出P、Q两点的坐标，由B1QD1P使用相关向量垂直的公式，列出关系式，求出未知量即可确立P、Q两点的位置。（4）在第一问的基础上求第二问比较容易些，用向量求二面角的大小，主要注意二面角是钝角还是锐角。由上面的分析可知，解决问题关键是学生有“章”可寻，有“法”可依。所学的知识有了可发挥的空间，自然也就有了解题信心和兴趣，下面的问题也就不言而喻了。三、解决有关距离问题的方法1：点、线距离a 、ld2：点、面距离a 、N（平面法向量）d3：异面直线的距离4：平行的线、线，线、面，面、面转化为1、2这两个方面去解决。立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，平面问题代数化。这样就解决了传统方法方法中说理和证明说不清的问题，同时也解决了运算烦琐及易出错的问题。例题2：下例为2003届数学高考题GDA1C1ABCEB1zxy图（2）如图，在直角三棱住ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G（）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（）求点A1到平面AED的距离。 分析：（1）建立空间直角坐标系（如图（2）标出相应点的坐标； （2）点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，则EG垂直平面ABD，则EG所对应的向量即为平面ABD的一个法向量，这样只要求出向量A1B与向量EG所成的角，即可求出A1B与平面ABD所成角的大小。 （3）要求点A1到平面AED的距离，只要先求出平面AED的法向量N，然后求出向量A1A在向量N上的射影长即可。四、解决有关角的问题的方法一些立体几何问题，不通过使用模型是很难作出判断的。如：“一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，这两个二面角的大小关系是什么？”此题仅靠空间想象很难得出结果，作图呢又较难，且作出的图形是不会运动的（模型是可以运动的），要作出各种情况下的图形既费时图形也难画，另外学生往往还会依据平面几何中一个类似的结论而去习惯性思维，得出“相等或互补”的错误结果，其实此题只需用两本打开的书本比划一下，结论很快就可以得到（两个角没有任何关系）。这一教法，融知识性和趣味性于一体，形象、直观，突破解题障碍，提高了学生的学习兴趣，培养了他们的空间想象力。立体几何尤其突出的是空间想象能力，而空间想象并不是漫无边际的胡想，而应该以题为依据，以某一几何体为依托，这样才会给空间想象能力插上翱翔的翅膀1：线线所成的角度 cos=BDCOAPzyxMN32：线面所成的角度 sin=3：面面所成的角度 cos=例题3：如图（3）已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，它的高为1。求：(1)相邻两个侧面所成二面角的大小；(2)点A到平面PBC的距离 解：过O作OMAB，ONBC交AB、BC于M、N两点，以O为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则设各点的坐标如下：A（1,1,0），B(1,1,0)，C(1,1,0)P(0,0,1)，O(0,0,0)N1PA=0 a1b1c1=0 N1PB=0 a1b1c1=0 N1AB=0 02b10=0a1=c1b1=0设平面PAB的一个法向量为N1（a1,b1,c1），平面PBC的一个法向量为N2 （a2,b2,c2） 令N1=（1,0,1）同理可令N2 =（0,1,1）1：cos=EFADCBABDCxyz图（4）= ，则=60。又两个侧面所成的二面角是一个钝二面角，所以其大小为1202:d= =例题4： 如图（4）：边长为a正方体ABCD-ABCD中，E、F分别为边AB与边CD的中点。（）求点B到面AEFD的距离？（）求B B与面AEFD所成角的大小？（）求二面角DFBA的大小例题分析 1：建系（确立原点，确立三条坐标轴，规定坐标轴的长度单位）。 2：确立各个相关向量的坐标。 3：法向量的求解（是解决这类问题的最关键所在，重中之重）。 4：代入相关的公式进行计算。当然向量的方法也不是万能的，它比较适用于能够建立空间直角坐标系的立体几何问题，而对于一些难以建系的问题用传统的方法自有其优势。立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。BDCOAPzyxMN已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为2，它的高为1求：(1)相邻两个侧面所成二面角的大小(2)点A到平面PBC的距离 解：过O作OMAB，ONBC交AB、BC于M、N两点，以O为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则设各点的坐标如下：A（1,1,0），B(1,1,0)，C(1,1,0)P(0,0,1)，O(0,0,0)N1PA=0 a1b1c1=0 N1PB=0 a1b1c1=0 N1AB=0 02b10=0a1=c1b1=0设平面PAB的一个法向量为N1（a1,b1,c1），平面PBC的一个法向量为N2 （a2,b2,c2） 令N1=（1,0,1）同理可令N2 =（0,1,1）1：cos= ，则=60。又两个侧面所成的二面角是一个钝二面角，所以其大小为1202:d= =教学有法，教无定法，贵在创新。教学的艺术、目标要求教师在制定的教学规程中，永不满足，不断开拓，努力创新。伟大的教育学家苏霍姆林斯基说过，在人的大脑里有一些特殊的最积极的、最富有创造性的区域，依靠把抽象思维跟双手精细、灵巧的动作结合起来，就能激发这些区域的积极活跃起来。学生的头脑不是一个被填充的容器，而是一个被点燃的火种。在课堂上，努力创造一种热烈、融洽的气氛，让学生获得创造成就的勇气和信心，鼓