《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(B 卷).pdf

命题共 2 页第1页 高等代数与解析几何 下 期末考试试卷 B 卷 高等代数与解析几何 下 期末考试试卷 B 卷 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 1 线性变换 的属于不同特征值的特征向量是 2 如果 3 xf x 则 3 f 3 实二次型正定的充分必要条件是它的矩阵A 4 在实数域上 不可约多项式有 5 在几何空间中 一个不含y的方程 0F x z 表示的曲面是 二 单项选择题 每小题 2 分 共 10 分 二 单项选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 设方阵A满足 2 4AA 则A的特征值为 A 0 或 1 B 0 或 4 C 1 或 4 D 无法确定 2 在下列曲面中 是直纹面 A 椭球面 B 椭圆抛物面 C 双叶双曲面 D 双曲抛物面 3 设 3 阶方阵A的特征值为 1 1 1 2 3 则 1 A 等于 A 9 B 1 9 C 6 D 1 6 4 在R x中 定义内积 1 0 f x g xf x g x dx 则 1 f xg xx 的夹角 是 A 2 B 4 C 3 D 6 5 直线 112 342 xyz 与平面45370 xyz 的交点坐标为 A 2 3 0 B 2 3 0 C 2 3 1 D 1 3 2 三 解答题 共 80 分 三 解答题 共 80 分 1 15 分 设 321 222 361 A 问矩阵A是否可以相似于一个对角矩阵 若可 以 求一个可逆矩阵T 使 1 TAT 为对角形矩阵 命题共 2 页第2页 2 10 分 求圆 222 222 4 70 xyz xyzxyz 的圆心及半径 3 12 分 求直线 1 210 xyz 绕直线xyz 旋转所得旋转曲面的方程 4 10分 取何值时 下列二次型是正定的 222 123123121323 5422f x x xxxxx xx xx x 5 10分 证明 如果 233 1xxf xxg x 则110 fg 6 13分 用非退化线性替换将二次型 222 1231231213 5424q x x xxxxx xx x 化为标准型 7 10分 设 12 是线性变换 的两个不同的特征值 12 分别是 的属于特 征值 12 的特征向量 证明 12 不是 的特征向量 答案共 3 页第1页 参考答案及评分细则 参考答案及评分细则 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 一 填空题 每小题 2 分 共 10 分 1 线性无关的 2 0 3 的所有顺序主子式全大于 0 4 一次多项式与部分二次多项式 5 母线平行于y轴的柱面 二 单项选择题 每小题 2 分 共 10 分 二 单项选择题 每小题 2 分 共 10 分 1 B 2 D 3 C 4 D 5 A 三 解答题 共三 解答题 共 80 分 分 1 15分 解 2 321 222 2 4 361 A EA 故特征向量为 2 和 4 5 分 当 1 2 时 特征向量 12 21 1 0 01 2 分 当 2 4 时 特征向量 3 1 2 3 2 分 24 dim dim 3VVA 故 可以相似于一个对角矩阵 2 分 取可逆矩阵 211 102 013 T 使 1 200 020 004 TAT 4 分 2 10 分 解 两方程相减 得30 xyz 故已知圆是球面 222 1 4Sxyz 答案共 3 页第2页 与平面 1 30 xyz 球面半径 1 2R 球心 0 到 1 的距离 3 3 1 1 1 d 故圆半径 22 1 1rRd 5 分 过球心 O 且垂直于 1 的直线L xyz 它与平面 1 的交点即为圆心 1 1 1 5 分 3 12 分 解 原点 O 在旋转轴上 且轴的方向向量是 1 1 1 可得方程组 222222 0 1 210 xxyyzz xyzxyz xyz 7 分 在方程组中消去 x y z 可得 222 2 5 5 70 xyzxyxzyzxyz 5 分 4 10分 解 二次型的矩阵 521 211 11 A 3 分 它的顺序主子式 123 50 10 2DDD 4 分 故当2 时原二次型正定 3 分 5 10分 解 设 13 2 i 则 都是 2 1xx 的根 3 分 由于 233 1xxf xxg x 所以110110fgfg 5 分 因此得110 fg 2 分 6 13分 解 22 2222 1231231213123233 54242 2 3q x x xxxxx xx xxxxxxx 6 分 令 1123 223 33 2 2 3 yxxx yxx yx 答案共 3 页第3页 即 1123 223 33 15 26 11 26 1 3 xyyy xyy xy 5 分 则有 2 3 2 2 2 1321 yyyxxxq 2 分 7 10 分 证明 反证 如果 12 是 的属于某个特征