互易定理的适用条件.pdf

36 张 家口师专 学报 自然科 学版 J o u r n a l o f Z h a n g j i a k o u Te a c h e r s Co l l e g e Na t u r a l S c i e n c e No 1 I 9 92 互易定理的适用条件 刘建东 物理 系 摘要提出了互易定理的适用条件 论证 了互 易性和无源性是毫不相干 的 两 个 概 念 关键 词互 易性 互 易条件 互 易定理 1 互易条件的提出 互 易性 是 线性 网络 的一个 重要特性 它 适 用于 线性 定常 网络 的子集 允许应 用互 易 定 理的线性 网络较之允 许应 用迭加定理 或戴维南 定理及 诺顿定 理 的 网络来 说 前 者受 到 更 多的 限制 在现 行 的有 些 教科书 中 往往 简单地 认 为互 易定 理 只适用 于 由电阻 电感 电容等 构成 的无源 网络 这 是不正 确的 笔者认 为 有些 有源 网络 也是 互易 的 而 有些 无 源网络却是非互易的 那 么 互易定理究竟适用于满足什么条件的线性定常网络 为此 本文首先用特勒根定理来证明互易定理 进而找到互易定理的适用条件 即互易条件 图 1 为互易定理的一种形式 图中把需研究的两个支路以外的部分 用一方框 P表 示 收稿 日期 t 1 9 9 1 年 4 月 1 6日 I P 图 I 输入 电压一短 路输 出电流 维普资讯 第 1期 刘 建 东 互 易定 理 的 适 用 条 件 3 7 根 据特勒根定 理 有 f VI i I V i c t d C v 一0 I 7 I I I 7 I I 7 一0 若 P内仅 由线性阻 抗组成 则有 I 一 C Y I C v i 一 C Y 其 中 Y 为无源支 路导纳矩 阵 现在考虑 P内 由无 源支路及 受控源支路组成 的情 况 对于图 2 所示的含受控源及阻抗的标准支路 其电压与电流的关系是 I b L Vb V V 元 件 电压与元 件 电流满 足关 系 L Y V 则 网络中所有支路 的 电流和 电压满 足如下矩 阵方 程 I L I c vb C v V 所有支路的元件电压与元件电流的关系为 L C Y C v 设受控源是受元件电压或元件电流控制的 因而有 V D C v R 1 2 S L C O R Y v D C v 图 2 标准支路 D 表示等效电压控制电压源的强度集 于是有 V V 一 C 1 3 十 C D3 C V V b 故 得 V 1 3 D r V 同样地 受控 电流源 G C V B L I t G Y B L B L B 表示等效 电流控制 电源源 的强度 集 又 L 一 C Y C v Y C 1 3 C D3 叫 v 故 C L 3 一 L I c 1 B L 一 1 十 B Y 1 十 D3 一C V 令 C 1 3 B C Y 3 1 C D 3 叫 C Y b 则 Y 为含受控源的支路导纳矩 阵 于是上式 简写成 I 一 Y5 C Vb 维普资讯 3 8 张 家 口师专 学报 自然科 学版 1 9 9 2年 同理 可 得 i 一 Y 3 我 们把 2 式 中的 Y 及 3 式 中的 Y b 均 记作 Y 统称 为支 路导纳矩 阵 于是有 I 一 Y C v 4 一 Y 7 将 4 式 转置 得 I b C vb Yb 等号 两边 同乘 7 k 一 I v Y 7 假定 Y 为对 称矩 阵 即 Y 一 Yb 代 入上式 得 t C v t Y 7 C v 一C k T C V 代入 1 式 可 得 Vl l l V2 I 2 一 Vl I l V2 1 2 5 对 图 l所示 情况 Vt V V O t O 一V 代 入 5 式得i t I 互 易定理 得证 由上述证 明过程 可看 出 互易 定理 的应用是 有 条件 的 即要 求 网络的支 路 导纳矩 阵 Y 为对称矩 阵 这 将决 定一个 网络 是否满足互 易定理 故 称之为互 易条件 满足 互易条 件 的网络 称为互易 网络 2 用互 易条件证 实如下几个命题 2 1 仅含电阻 电容 电感 的线性定 常网络是互易的 对于 仅含 电阻 电容 电感的线性 定常网络 支路 导纳矩 阵c Y 为对角 阵 当然满 足互 易条件 所以是互 易的 2 2 含有回转 器的无源线 性定 常网络是非互易 的 回转器 是一种新型 双 口元 件 它 由下列 方程描述 J2 G 21V l I i l 一 一 Gl 2 v 2 G2 l Gl 2 从方 程可看 出 回转器是 一个 无源 的线性 定常元件 这里构造含有 回转器 的网络如 图 3所 示 厂 一 干 Or 一 J 图 3 含 回转器网络 维普资讯 第 1期 刘建 东 互 易定 理 的适 用条件 3 9 假定 网络 N Nz 是仅 由电阻 电容 电感构成 的网络 对图 3 可得其支路导纳矩 阵为 Y 0 Gl 2 G2 l 0 G 3 3 G 显然 该矩 阵是不对 称的 故含 有回转器的无源 线性 定常 网络是非互 易网络 2 3 某些 含非独立 电源的线性 定常网络也可能 是互易的 我 们通过例子 来说 明这个 问题 图 4是包含受控源 的线性 定常网络 对 于 图 4 B 一 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 I 一 t h 笪一 1 Is l 零矩 图 4 含 受控源 网络 Y t d i a g 1 1 1 1 所 以 Y b 1 B C Y J 1 D3 一 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 即 Y 为对 称矩 阵 故该 网络是 互易的 为了说明其正确性 我们可以用数值来进一步验证 令电压为 5 V的独立源作用于第 2 条支路 则在第 4条支路产生的电流为 5 3 A 当 珏源作用于第 4 条支路时 方向一 致 在第一条 支路产生 的 电流也为 5 3 A 即满足互 易定理 1 2 4 含变压器的 无源线性定常 网络是互易的 理想变压器如图 5 所示 其定义 式为 故其支 路导纳 矩阵为 一 G 图 5 理 想 变 压 器 该矩阵对称 因而含变压器的无源线性定常网络是互易的 维普资讯 4 0 张 家口师专学报 自然科学版 9 9 2年 2 5 有互感 的无源线 性定 常网络 是互易的 举例说 明如下 电路如 图 6中 令 Rt 一 1 Q C 2 1 F L 3 一L 4 一L 5 1 H M一0 5 H 则其 支路 导纳矩 阵 Y 一 1 0 0 0 0 o j o o o o o j 0 o 0 0 0 一 一 o 0 0一 一 图 6 含互感 网络 该矩 阵对称 因而 该有互感 的无 源线性 定常 网络是互 易的 2 6 具有特殊对称结构的含独立源网络也可能是互易的 若电路中尚存在另外的激励 且这些激励在网络中某两个支路中所产生的响应是相 等 的 则这两个 支路仍 然存在 互易性 图 7 含独立源 网络 图 7 所示的网络中 电源 V 作用在第一条支路时 在第 8 条支路产生的响应 I 8 与电 源 V 作用在第 8条支路时 在第 1 条支路所产生的响应 I 是相等的 故存在互易性 需指出 对于含有独立源的网络 其是否互易不能由支路导纳矩阵来判定 3 结论 结论 1 对于仅含 电阻 电容 电感 变压器 互感的线性定常网络 其支路导纳矩阵 总是对称的 即一定满足互易条件 故互易定理总是适用的 所以在考察这类网络时 可 以直接运用互易定理 勿须判定 一 结论 2 认为由无源的线性定常元件组成的所有网络都互易 这一提法是错误的 正 如我们上面所讨论的 含回转器的无源线性定常网络就不满足互易条件 结论 3 我们知道 非独立源有不同于独立源的特性 它既有电源性质的一面 也有 阻抗性质的一面 对于一个仅含受控源及阻抗的网络 可以用一个阻抗来等效代替 对于 含有非独立源的线性定常网络 就一般情况而言 某一支路的非独立源的电流 或电压 I 8 维普资讯 第 l期 刘 建 东 互 易定 理 的 适 用 条件 要 受其 它支 路的 电流 或 电压 控 制 这 就使各 支路 之间 的电压或 电 流增加了 某种 约束 因而导致其 支路导纳 矩 阵的不对 称性 但 是 其含有非 独立源的 网络 其结构和 受控约 束 存在某种特 殊的对称性 则其支 路导纳矩 阵就 可能是对称 的 对这样 的网络 互 易定理是 适用的 所 以对 于含有 非独立源 的线性 定常 网络 首先 分析其是 否满足互易条件 然后 才 能确定互 易定理是 否适用 另外 含有独 立源 的线性 定常 网络也 有互易 的情 况 由此看 出 互 易性和无源 性是毫 不相 干的两个 概念 参考文献 1 C A 狄 苏 尔 葛守 仁 著 林 争辉 译 电 路基本 理论 北京 t 人 民教 育 出版社 1 9 7 9 2 美 蒂莫西 N 特立克著 农植伟等译 电路分析导论 北京 t 人民教育出版社 1 9 8 1 The Ap p l i c a bl e Co nd i t i o ns Re c i p r o c i t y The o r e e m J u a n d o n g De p a r t me n t o f p h y s i c s Abs t r a c t I n t h i s pa p e r t h e a p p l i c ab l e Co nd i t i o ns o f r e c i p r o c i t y t h e o r e m a r e p u t f o r wa r d a nd i t h a s p r o v e d t h a t r e c i p r o c i t y a nd pa s s i vi t y a r e di f f e r e nt c o nc e pt s no t r e l a t i n g t o e ac h o t h e r a t a l 1 Ke y wo r d ds r e c i p r o c i t y r e c i p r o c i t y c o n di t i o n r e c i p o c i t y t h e o r e m 接 1 3页 聚合物在高技术应用上有广阔前途 聚合物是 由单体连成非常长的链 单体链大约 长 1 0埃 英 国物理学家 爱德华 E d w a r d s 给 出单 体链 连结时 在 同一时间 同一地点 不多