第2章参数估计_简化.ppt

第2章参数估计 理学院应用数学系王小侠 参数估计是指由样本对总体分布的未知参数做出估计 是数理统计中重要的基本问题之一 主要内容 点估计和估计量的求法估计量的评判标准区间估计 2 1点估计和估计量的求法 设为总体的待估参数 一般用样本 的估计量 它是一个随机变量 由于对不同的样本值 得到的参数估计值也往往不同 因此 点估计问题的关键在于构造估计量的方法 一 矩估计法 二 极大似然估计法 似然函数的定义 X的概率密度为 三 顺序统计量法 样本中位数和样本极差都是顺序统计量的函数 具有简单易算的特点 无论总体X服从何种分布 都可以用样本中位数Me作为总体均值EX的估计量 用样本极差R作为作为总体标准差的估计量 这种估计比较粗糙 对于正态总体 总体均值和总体标准差的估计值分别为 例8某种型号的旧汽车经过5次转卖 售出的价格分别是375 370 360 350 345美元 假设售出的价格服从正态分布 估计这种旧汽车价格的均值和标准差 解 由题知Me 360 R 375 345 30 n 5 故 例9 从维尼纶厂20天正常生产中 随机地抽样得20个纤度 表示纤维粗细程度的一个量 数值 等分成四组 每组5个数据 见下表 假定纤度服从正态分布 用上述数据估计总体的标准差 解 平均极差为总体标准差的估计为另外 如果用这20个数值的样本标准差作为的估计值 那么可以见以上两种估计法所得的估计值比较接近 例10 矩估计法 极大似然估计法 2 2估计量的评判标准 无偏性有效性相合性 一 无偏性 定义 若参数的估计量 满足 则称是的无偏估计 量 unbiasedestimation 一 无偏性 无偏性是指如果用多个样本的统计量作为总体参数的估计值时 有的偏大 有的偏小 而偏差的平均数为零 这时 这个统计量就是无偏估计量 例1设是来自总体的样本 无论服从何种分布 都有 1 若总体均值存在 则样本均值是总体均值的无偏估计量 证 纠偏方法 注意 无偏估计量可以不存在 对同一个参数可以有许多无偏估计量 无偏估计量可能有明显的弊端 P45 二 有效性 1 均方误差最小准则 定义1 1 估计量的均方误差愈小 估计的效果愈好 这就是所谓的均方误差最小准则 注 定义2 有效性是指当总体参数的无偏估计不止一个统计量时 无偏估计变异性小者有效性高 变异大者有效性低 例3 例4 2 一致最小方差无偏估计量 定义 若在的具有二阶矩的无偏估计量的全体中存在一个估计量 使得对的任意无偏估计量 都有则称为的一致最小方差无偏估计量 三相合性对估计量来说 除了要求它是无偏的 方差较小或均值误差较小外 还要求它当样本容量无限增大时能在某种意义下愈来愈接近被估计参数的真值 这就是所谓的相合性要求 定义 设是的估计量 若对 有则称为的相合估计 量 或一致估计 量 若有则称为的均方相合估计 量 结论 若为的均方相合估计 则必为的相合估计 若是的相合估计 是的连续函数 则是的相合估计 若是的相合估计 常数列满足 则也是的相合估计 定义 设总体X的分布函数F x 含有未知参数 对于给定值 0 1 若由样本X1 Xn确定的两个统计量使 则称随机区间为 的置信度为1 的置信区间 注 F x 也可换成概率密度或分布律 2 4区间估计 一 一个正态总体的情形 用样本方差代替总体方差 小样本 m的1 a置信区间为 即得 例2 区间短 区间长 3 单正态总体方差的置信区间 假定m未知 估计 2 s2的置信度为1 的置信区间为 另外 标准差的置信度为的置信区间为 二 两个正态总体的情形 定理1 2 6知 例4 两台机床生产同一个型号的滚珠 从甲机床生产的滚珠中抽取8个 从乙机床生产的滚珠中抽取9个 测得这些滚珠得直径 毫米 如下 甲 15 014 815 215 414 915 115 214 8乙 15 215 014 815 114 614 815 114 515 0 正态总体均值 方差的置信区间 三 非正态总体参数的区间估计 1 指数分布参数的区间估计 2 0 1分布参数的区间估计 推导过程如下 因为 0 1 分布的均值和方差分别为 因为容量n较大 由中心极限定理知 设从一大批产品的100个样品中 得一级品60个 求这批产品的一级品率p的置信水平为0 95的置信区间 解 一级品率p是 0 1 分布的参数 例5 p的置信水平为0 95的置信区间为 设从一大批产品的120个样品中 得次品9个 求这批产品的次品率p的置信水平为0 90的置信区间 解 例6 p的置信水平为0 90的置信区间为 3 大样本条件下总体均值的区间估计 根据总体方差是否知道 估计分两种情况 大样本是指n 50 例7从某校随机地抽取100名男学生 测得平均身高为170厘米 标准差为7 5厘米 试求该校学生平均身高95 的置信区间 解按题意 此为大样本 且总体方差未知 又 因此 有95 的把握 该校学生的平均身高在168 5 171 5厘米之间 四 单侧区间估计 但在某些实际问题中 例如 对于设备 元件的寿命来说 平均寿命长是我们希望的 我们关心的是平均寿命的 下限 与之相反 在考虑产品的废品率p时 我们常关心参数p的 上限 这就引出了单侧置信区间的概念 1 单侧置信区间的定义 2 正态总体均值与方差的单侧置信区间 设从一批灯泡中 随机地取5只作寿命试验 测得寿命 以小时计 为1050 1100 1120 1250 1280 设灯泡寿命服从正态分布