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文档简介

性质1行列式与它的转置行列式相等 性质2交换行列式的两行 列 行列式变号 性质3行列式的某一行 列 中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质4行列式中如果有两行 列 元素对应成比例 则此行列式等于零 内容回顾 行列式的性质要熟记 1 性质5若行列式的某一列 行 的元素都是两数之和 则D等于下列两个行列式之和 如 2 性质6把行列式的某一列 行 的各元素乘以同一数然后加到另一列 行 对应的元素上去 行列式不变 如 3 习题1计算行列式试卷1 第三题第2问 4 计算行列式常用方法 利用行列式性质将行列式化为上 下 三角行列式 从而算得行列式的值 解 将第列都加到第1列 得 5 将第行都减去第1行 得 6 7 第四节行列式按一行 列 展开 一 余子式与代数余子式 二 行列式按行 或列 展开法则 三 小结 8 例如 一 余子式与代数余子式 9 在阶行列式中 把元素所在的第行和第列划去后 留下来的阶行列式叫做元素的余子式 记作 称为元素的代数余子式 例如 定义 10 行列式中每个元素都对应着一个余子式和一个代数余子式 说明 11 引理一个阶行列式 如果其中第行所有元素除外都为零 那么该行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 证明 a 当位于第1行第1列时 b 当位于第i行第j列时 即有 12 可得 13 可得 14 15 中的余子式 16 故得 由于 17 定理1 4行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和 即 或 二 行列式按行 列 展开法则 18 下面我们对行的情形给出证明 证明 19 20 例1计算行列式 解 按第一行展开 得 简单方法 按第2行展开 21 例2求 解 22 例3计算行列式试卷2 第三题 23 解 24 例4计算n阶行列式P32 12 2 25 解 依次从第行展开 可得 26 27 例5计算行列式 解 28 29 证明 用数学归纳法进行证明 例6 证明范德蒙德行列式 a 证明最小的n n 2 要求记住结论 30 b 假设 1 对于n 1阶范德蒙德行列式成立 证明 1 对n阶范德蒙德行列式也是成立的 从第n行开始 后一行减前一行的x1倍 可得 按第1列展开 并把每列的公因子 xi x1 提出 就有 31 n 1阶范德蒙德行列式 例7计算行列式试卷7 第三题第二问 32 解 33 34 35 推论行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 或 36 证明 37 同理 38 代数余子式的重要性质 39 例8设行列式 求 解 40 例9计算2n阶行列式 解按第1行展开 有 41 42 利用这个递推关系式 有 43 1 行列式按行 列 展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶
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