两角和差余弦公式的探究性教学.doc

两角和差余弦公式的探究性教学 年 第卷 第期 数学通报两角和差余弦公式的探究性教学朱胜强南京外国语学校新课标教材中普遍运用向量的数量积来推导两角差的余弦公式,使公式的推导过程显得逻辑严谨,简洁明了,也为用向量工具解决三角函数问达一题提供了一个典型范例.但教学中我们发现,虽然此前学生已经掌握了平面向量的知识,但很少有人能自然地想到用向量数量积来证明公式.课堂 。./中学生常常是被老师教材牵着鼻子走,处于一种被动接受的学习状态.新课程倡导学生要积极图主动地学习,鼓励学生参与.在两角和差余弦公式问题可以借助单位圆中的三角函数线来解决,三推导的教学中,能否通过合理的教学设计,让学生角函数线已成为学生解决问题的强有力的工具.主动地发现公式的证明方法,成为学习的主人呢而不同角的终边与单位圆交点的坐标关系,既是下面谈谈笔者的一些不成熟的想法,供大家参考.推导公式的途径,更是记忆公式帮手.所以遇到类教学过程设计似问题时,学生会很自然地想到这些熟悉的做法.首先通过若干具体事例让学生明白研究两角由三角函数的定义可知,的坐标为口,和差三角函数的必要性,进而提出下面问题.,的坐标为 ,卢,的坐标为问题如何用,卢的三角函数值表示口卢卢,口卢.的余弦值.师 。的坐标与。,:的坐标之间有什么要想引导学生参与,必须从学生已有的知识联系呢出发.生 。的坐标与。,。坐标似乎是彼此孤师 哪位同学能讲讲自己对这一问题的立的,没有什么联系.想法.学生变得沉默起来,这里的坐标关系并不像生可以在单位圆中先作出角口,卢及角口卢推导诱导公式时那样便于发现.学生在此很可能的终边,确定这些终边与单位圆交点,再寻找。会觉得“此路不通”,要知难而退了.而这正是需要的坐标与。,:的坐标之间的关系.教师发挥引导作用的关键时刻.教师根据学生所讲在黑板上画出坐标系、单师 。是怎么作出来的位圆、角口,卢的终边,并追问了如何画口卢的终生是以。为始边作角口得到的.边.学生讲只要以口的终边为始边,将射线再旋转师 这说明。是什么样的角的终边呢角卢,便可得到口的终边.其中角口,卢,口卢的生既是角口的终边角的始边为射线终边与单位圆的交点分别记为。,:,。如图,又是角口的终边角的始边为射线。.师。是角口口的终边我们已经考虑到了.师你能说一说为什么这么想吗怎样将。也是角口的终边体现出来呢一个人生 因为前面得出的很多公式推导时都是这拿不定主意也可以相互讨论一下.么做的,如诱导公式的推导.在探究活动中,学生往往只注意到事物的表在三角函数一章的学习中,许多三角函数万方数据数学通报年第卷第期面而忽视对本质的把握.教师引导的一个重要任卢.务是让学生设法透过现象看本质.又因为;卢,通过讨论学生明白了,无论是用终边与单位 所以圆交点坐标还是三角函数线表示角的三角函数卢一 卢一 卢,值,其共同之处是角的始边都在射线上.现在卢 卢 犀的问题在于当。是口的终边时,角的始边在射 在此过程中,将向量商,葫分用西,:线。上.未过多久终于有学生讲出了自己的表示也是一个难点.可以在充分分析商与萌同想法.向及反向的基础上得出最终的关系.生将坐标系绕原点逆时针旋转角,得用上述方法推导公式,可以同时解决两角和坐标系 .这时,与轴的正半轴重合.在的正弦、余弦公式的推导.此外,对公式中出现的坐标系回中,。是角口的终边.过。分别作角无范围限制,不再需要扩充.因此,用本法推导轴, 轴的垂线,垂足分别为,.则在公式,虽然探究的过程上要多花些时间,但总体上坐标系中,。与分别是角卢的正弦线 所需的时间与用课本方法所需时间相差不大.若与余弦线如图,即在完成上述探究后,再让学生看课本上的证明方法,则学生对向量的工具作用的认识将会更加深刻,势必会提高今后用向量工具解决问题的自觉性.惑泌教后反思基于著名认知心理学家皮亚杰的认知发展阶段理论,学习者认知功能即便是在由具体、直觉水遴义王平占优势过渡到抽象水平占优势之后,也并不是说具体的实际经验在其今后的学习中就不必要圈了;相反地,当他们遇到新问题,尤其是比较困难,的问题时,往往会先回到具体、直觉水平上去.?因此,教学中对知识最初的引入愈是亲切自然,平师想法很好,这时能将。的坐标与。,。易直观,才愈符合学习者的认知规律.的坐标取得联系吗教材处理方法的核心是运用了向量工具.向生可以设射线与单位圆的交点为。,量数量积的定义及相应的坐标运算对学生来讲是比较抽象的.面对教材提供的引入,学生在尝试推则。口号,口号,所以面霄,导和角公式时,很难回到具体、直觉水平上去,故菌均为单位向量,且商,商分别与萌,两而要想主动发现它就不那么容易了.因此“要引导共线.所以学生通过主动参与,独立探索,自己得出结果更是确一口两一口,难点.”卢, 卢,要突破教学难点,选择合理的切人点非常重商一口两要.切人点的选择一方面有赖于教师对教材的整卢。口号,口号体认识,对于推导公式的基本途径要有一个较为一一卢, 卢.完整全面的把握.另一方面也要充分尊重学生的再由四边形。为矩形,所以