随机信号习题课.doc

例 1 电报发射台发出 和 的比例为 5 3 由于干扰 传送 时失真的概率为 2 5 传送 时失真的概率为 1 3 求接受台收到 时 发出信号恰是 的概率 解 设 收到 发出 A B 由贝叶斯公式 5 3 3 8 5 5 33 1 4 8 58 3 P B P A B P B A P B P A BP B P A B 例 2 若随机变量与的联合分布律为XY Y X 101 00 070 180 15 10 080 320 20 求 1 与的联合分布函数与密度函数 2 与的边缘分布律 XYXY 3 的分布律 4 与的相关系数 ZXY XY 解 1 0 07 10 18 0 15 1 0 081 10 321 0 201 1 F x yu x yu x yu x y u xyu xyu xy 0 07 10 18 0 15 1 0 081 10 321 0 201 1 f x yx yx yx y xyxyxy 2 的分布律为X 00 070 180 150 40 10 080 320 200 60 P X P X 的分布律为Y 10 070 080 15 00 180 320 50 10 150 200 35 P Y P Y P Y 3 的分布律为ZXY 111 10 08 0001 00 400 320 72 111 10 20 P ZP XYP XY P ZP XYP XP XY P ZP XYP XY 4 因为 0 0 40 1 0 600 60 10 150 0 50 1 0 350 20 E X E Y 10 080 0 72 1 0 200 12E XY 则 ov 0 120 60 0 200CX YE XYE X E Y 与的相关系数 可见它们无关 XY0 XY 例 3 给定随机过程 其中和是常数 tAtX 0 sinA 0 在区间内为均匀分布的随机变量 现定义一个新的随机过程 tXtY 2 求 1 的自相关函数 tY 2 与的互相关函数 tX tY 3 与是否为宽平稳 tX tY 4 与是否为联合平稳 tX tY 解 1 tXtXEttRY 22 00 22 0 22 sinsintAtAE 0 4 2cos 2 1 1 4 1 A Y R 2 tXtXEttRXY 2 00 22 0 sinsintAtAE 0 XY R 3 0sin 0 tAEtXE tXtXEttRX 000 sinsintAtAE X RA 0 2 cos 2 1 所以为宽平稳过程 tX 2 2 1 0ARtYE X 所以为宽平稳过程 tY 例 4 简述宽平稳随机过程的自相关函数的性质 并判断下面图形所表示的 函数可否作为实的宽平稳随机过程的自相关函数 答 宽平稳随机过程的自相关函数的性质为 1 平稳过程的自相关函数在 上的值是非负值 2 即自相关函数在是变量 的偶函数 3 即自相关函数在 上具有最大值 4 若平稳过程 X t 满足条件 X t T X t 则称它为周期平稳过程 其中 T 为过程的周 期 周期平稳过程的自相关函数必为周期函数 且它的周期与过程的周期相同 22 0 0 XX RE Xt 0 XX RR 0 XX RR 0 5 若平稳过程 X t 含有一个周期分量 那么 Rx 也可能含有一个同周期的周期分量 6 若平稳过程中不含有任何周期分量 则有 上图中所表示的函数都不可作为实的宽平稳随机过程的自相关函数 例 5 已知平稳过程的物理功率谱密度为 X t 4 X F 求的功率谱密度和自相关函数 画出的图形 X t X G X R XX GR 判断过程是白噪声还是色噪声 给出理由 X t 1 2 2 2 2 0 X XX X X X G FG F R E X tRt U X 解 物理功率谱密度 是 定义式 白噪声 例 6 随机电压信号在各不同时刻上是统计独立的 而且 一阶概率密度函 U t 数是高斯的 均值为 0 方差为 2 试求 1 密度函数 和 k 为任意 f u t 1212 f u u t t 1212 kk f u uu t tt 整数 2 的平稳性 U t 解 1 2 1 exp 42 x f u t 22 12 1 2121 12 2 1 exp 44 uu f u uttf u tf u t 2 lim XXX RRm 2 1 1 212 1 1 exp 4 2 k ik i kkii k i u f u uutttf u t 2 由于任意 k 阶概率密度函数与 t 无关 因此它是严平稳的 例 7 随机信号与的实测样本函数如下题图 a 与 b 所示 试说明它们是否均值 1 Y t 2 Yt 各态历经 a b 解 由均值各态历经信号的物理意义 只要观测的时间足够长 每个样本函数都将经历信 号的各个状态 结合题图可见 a 不可能是均值各态历经信号 b 很可能是均值各 态历经信号 例 8 具有自相关函数的白噪声通过下图所示的理想带通滤波器 2 0 N RX 求输出的总噪声功率 P H 0 0 0 解 2 0 N RX 2 0 N GX 2 0 2N HGG XY 2 0 2 2 22 1 22 1 00 2 0 0 NN d N P 例 9 是的 Hilbert 变换 请证明若 则 t x tx txtx txtx 证明 d tx d tx tx 11 d tx d tx tx 11 txtx 例 10 对于窄