高考数学大一轮复习 第六章 数列 6_1 数列的概念与简单表示法课件 理 北师大版

6 1数列的概念与简单表示法 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 数列的定义 知识梳理 按排列的一列数叫作数列 数列中的每一个数叫作这个数列的 一定次序 项 2 数列的分类 有限 无限 3 数列的表示法数列有三种表示法 它们分别是 和 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示成 那么这个公式叫作这个数列的通项公式 列表法 图像法 解析法 an f n 1 若数列 an 的前n项和为Sn 通项公式为an 3 数列与函数的关系数列是一种特殊的函数 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值 就是数列 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 所有数列的第n项都能使用公式表达 2 根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个 3 1 1 1 1 不能构成一个数列 4 任何一个数列不是递增数列 就是递减数列 5 如果数列 an 的前n项和为Sn 则对任意n N 都有an 1 Sn 1 Sn 1 把1 3 6 10 15 21 这些数叫作三角形数 这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形 如图所示 考点自测 则第7个三角形数是A 27B 28C 29D 30 由图可知 第7个三角形数是1 2 3 4 5 6 7 28 答案 解析 答案 答案 解析 4 数列 an 中 an n2 11n 则此数列最大项的值是 答案 解析 30 n N 当n 5或n 6时 an取最大值30 5 已知数列 an 的前n项和Sn n2 1 则an 答案 解析 当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 题型分类深度剖析 题型一由数列的前几项求数列的通项公式 例1 1 2016 太原模拟 数列1 3 6 10 的一个通项公式是 答案 解析 观察数列1 3 6 10 可以发现1 1 3 1 2 6 1 2 3 10 1 2 3 4 答案 解析 思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略 1 常用方法 观察 观察规律 比较 比较已知数列 归纳 转化 转化为特殊数列 联想 联想常见的数列 等方法 2 具体策略 分式中分子 分母的特征 相邻项的变化特征 拆项后的特征 各项的符号特征和绝对值特征 化异为同 对于分式还可以考虑对分子 分母各个击破或寻找分子 分母之间的关系 对于符号交替出现的情况 可用 1 k或 1 k 1 k N 处理 跟踪训练1根据数列的前几项 写出下列各数列的一个通项公式 1 1 7 13 19 解答 数列中各项的符号可通过 1 n表示 从第2项起 每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 2 0 8 0 88 0 888 解答 解答 各项的分母分别为21 22 23 24 易看出第2 3 4项的绝对值的分子分别比分母小3 题型二由an与Sn的关系求通项公式 例2 1 2016 南昌模拟 若数列 an 的前n项和Sn 则 an 的通项公式an 答案 解析 两式相减 整理得an 2an 1 a1 1 an 是首项为1 公比为 2的等比数列 故an 2 n 1 2 已知下列数列 an 的前n项和Sn 求 an 的通项公式 Sn 2n2 3n 解答 a1 S1 2 3 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此等式 an 4n 5 Sn 3n b 解答 a1 S1 3 b 当n 2时 an Sn Sn 1 3n b 3n 1 b 2 3n 1 当b 1时 a1适合此等式 当b 1时 a1不适合此等式 当b 1时 an 2 3n 1 思维升华 已知Sn 求an的步骤 1 当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 3 对n 1时的情况进行检验 若适合n 2的通项则可以合并 若不适合则写成分段函数形式 跟踪训练2 1 已知数列 an 的前n项和Sn 3n2 2n 1 则其通项公式为 答案 解析 当n 1时 a1 S1 3 12 2 1 1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 显然当n 1时 不满足上式 2 已知数列 an 的前n项和为Sn a1 1 Sn 2an 1 则Sn等于 答案 解析 题型三由数列的递推关系求通项公式 例3根据下列条件 确定数列 an 的通项公式 1 a1 2 an 1 an ln 1 解答 2 lnn n 2 又a1 2适合上式 故an 2 lnn n N an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2 a1 1 an 1 2nan 解答 3 a1 1 an 1 3an 2 解答 an 1 3an 2 an 1 1 3 an 1 又a1 1 a1 1 2 故数列 an 1 是首项为2 公比为3的等比数列 an 1 2 3n 1 故an 2 3n 1 1 思维升华 跟踪训练3 1 已知数列 an 满足a1 1 an an 1 n 2且n N 则an 答案 解析 2 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2an 1 n N 则a5等于A 16B 16C 31D 32 答案 解析 当n 1时 S1 2a1 1 a1 1 当n 2时 Sn 1 2an 1 1 an Sn Sn 1 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比数列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 题型四数列的性质 命题点1数列的单调性 答案 解析 A 递减数列B 递增数列C 常数列D 不确定 例5数列 an 满足an 1 a8 2 则a1 答案 解析 命题点2数列的周期性 周期T n 1 n 2 3 a8 a3 2 2 a2 2 命题点3数列的最值 答案 解析 1 解决数列的单调性问题可用以下三种方法 用作差比较法 根据an 1 an的符号判断数列 an 是递增数列 递减数列还是常数列 用作商比较法 根据 an 0或an 0 与1的大小关系进行判断 结合相应函数的图像直观判断 2 解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项 确定数列的周期 再根据周期性求值 3 数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解 思维升华 答案 解析 an 为周期数列且T 4 2 设an 3n2 15n 18 则数列 an 中的最大项的值是 答案 解析 典例 1 数列 an 的通项公式是an n 1 n 则此数列的最大项是第 项 2 若an n2 kn 4且对于n N 都有an 1 an成立 则实数k的取值范围是 解决数列问题的函数思想 思想与方法系列12 1 可以将数列看成定义域为正整数集上的函数 2 数列的最值可以根据单调性进行分析 9或10 答案 解析 思想方法指导 3 1 an 1 an 当n0 即an 1 an 当n 9时 an 1 an 0 即an 1 an 当n 9时 an 1 an 0 即an 1 an 该数列中有最大项 且最大项为第9 10项 2 由an 1 an知该数列是一个递增数列 又通项公式an n2 kn 4 n 1 2 k n 1 4 n2 kn 4 n 1 2 k n 1 4 n2 kn 4 即k 1 2n 又n N 所以k 3 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 所给数列呈现分数形式 且正负相间 求通项公式时 我们可以把每一部分进行分解 符号 分母 分子 很容易归纳出数列 an 的通项公式an 1 n 1 故a10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知数列的通项公式为an n2 8n 15 则A 3不是数列 an 中的项B 3只是数列 an 中的第2项C 3只是数列 an 中的第6项D 3是数列 an 中的第2项和第6项 答案 解析 令an 3 即n2 8n 15 3 整理得n2 8n 12 0 解得n 2或n 6 3 已知a1 1 an n an 1 an n N 则数列 an 的通项公式是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数列 an 具有周期性 T 6 a2018 a336 6 2 a2 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 2016 开封一模 已知函数y f x 的定义域为R 当x1 且对任意的实数x y R 等式f x f y f x y 恒成立 若数列 an 满足a1 f 0 且f an 1 n N 则a2015的值为A 4029B 3029C 2249D 2209 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 根据题意 不妨设f x x 则a1 f 0 1 数列 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 an 2n 1 a2015 4029 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 数列 an 中 已知a1 1 a2 2 an 1 an an 2 n N 则a7 答案 解析 由已知an 1 an an 2 a1 1 a2 2 能够计算出a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知数列 an 的前n项和为Sn Sn 2an n 则an 答案 解析 当n 1时 S1 a1 2a1 1 得a1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 2an n 2an 1 n 1 即an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 数列 an 1 是首项为a1 1 2 公比为2的等比数列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 2n 1 9 已知数列 an 的通项公式an n 2 n 则数列 an 的项取最大值时 n 答案 4或5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解析 又n N 所以n 4或n 5 故数列 an 中a4与a5均为最大项 且a4 a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 已知数列 an 满足a1 2 an 1 n N 则该数列的前2019项的乘积a1 a2 a3 a2019 答案 解析 3 数列 an 是以4为周期的数列 而2019 4 504 3 a1a2a3a4 1 前2019项的乘积为1504 a1a2a3 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 11 已知数列 an 的前n项和为Sn 1 若Sn 1 n 1 n 求a5 a6及an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为a5 a6 S6 S4 6 4 2 当n 1时 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 1 n 1 n 1 n n 1 1 n 1 n n 1 1 n 1 2n 1 又a1也适合此式 所以an 1 n 1 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 2 若Sn 3n 2n 1 求an 因为当n 1时 a1 S1 6 当n 2时 an Sn Sn 1 3n 2n 1 3n 1 2 n 1 1 2 3n 1 2 由于a1不适合此式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 同理 a3 3 a4 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 2 求数列 an 的通项公式 得 an an 1 1 an an 1 0 由于an an 1