高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_9 圆锥曲线的综合问题 第3课时 定点、定值、探索性问题课件 理 北师大版

9 9圆锥曲线的综合问题 第3课时定点 定值 探索性问题 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 题型分类深度剖析 题型一定点问题 设椭圆的焦距为2c 由题意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 a2 3 解答 几何画板展示 2 若 1 2 3 试证明 直线l过定点并求此定点 证明 几何画板展示 由题意设P 0 m Q x0 0 M x1 y1 N x2 y2 设l方程为x t y m y1 m y1 1 由题意y1 0 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 由题意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由题意mt 0 mt 1 满足 得直线l方程为x ty 1 过定点 1 0 即Q为定点 思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法 1 引进参数法 引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量 再研究变化的量与参数何时没有关系 找到定点 2 特殊到一般法 根据动点或动线的特殊情况探索出定点 再证明该定点与变量无关 1 求椭圆C的方程 解答 解答 几何画板展示 因为l为切线 所以 2t 2 4 t2 2 2 2 0 因为MN为圆的直径 即t2 2 2 0 设圆与x轴的交点为T x0 0 当t 0时 不符合题意 故t 0 所以T为定点 故动圆过x轴上的定点 1 0 与 1 0 即椭圆的两个焦点 题型二定值问题 例2 2016 广西柳州铁路一中月考 如图 椭圆有两顶点A 1 0 B 1 0 过其焦点F 0 1 的直线l与椭圆交于C D两点 并与x轴交于点P 直线AC与直线BD交于点Q 解答 椭圆的焦点在y轴上 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y kx 1 C x1 y1 D x2 y2 证明 当直线l的斜率不存在时 与题意不符 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y kx 1 k 0 k 1 C x1 y1 D x2 y2 将两直线方程联立 消去y y1y2 k2x1x2 k x1 x2 1 故点Q的坐标为 k y0 思维升华 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 1 求代数式为定值 依题意设条件 得出与代数式参数有关的等式 代入代数式 化简即可得出定值 2 求点到直线的距离为定值 利用点到直线的距离公式得出距离的解析式 再利用题设条件化简 变形求得 3 求某线段长度为定值 利用长度公式求得解析式 再依据条件对解析式进行化简 变形即可求得 1 求动点Q的轨迹C的方程 解答 几何画板展示 依题意知 点R是线段FP的中点 且RQ FP RQ是线段FP的垂直平分线 点Q在线段FP的垂直平分线上 PQ QF 又 PQ 是点Q到直线l的距离 故动点Q的轨迹是以F为焦点 l为准线的抛物线 其方程为y2 2x x 0 2 设圆M过A 1 0 且圆心M在曲线C上 TS是圆M在y轴上截得的弦 当M运动时 弦长 TS 是否为定值 请说明理由 解答 弦长 TS 为定值 理由如下 几何画板展示 题型三探索性问题 1 求椭圆E的方程 解答 解答 几何画板展示 当直线l与x轴平行时 设直线l与椭圆相交于C D两点 如果存在定点Q满足条件 则有 即 QC QD 所以Q点在y轴上 可设Q点的坐标为 0 y0 当直线l与x轴垂直时 设直线l与椭圆相交于M N两点 则M 解得y0 1或y0 2 当直线l的斜率不存在时 由上可知 结论成立 当直线l的斜率存在时 可设直线l的方程为y kx 1 A B的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 所以 若存在不同于点P的定点Q满足条件 则Q点坐标只可能为 0 2 其判别式 4k 2 8 2k2 1 0 易知 点B关于y轴对称的点B 的坐标为 x2 y2 所以kQA kQB 即Q A B 三点共线 思维升华 解决探索性问题的注意事项探索性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确则存在 若结论不正确则不存在 1 当条件和结论不唯一时要分类讨论 2 当给出结论而要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都不知 按常规方法解题很难时 要开放思维 采取另外合适的方法 1 求椭圆C和抛物线E的方程 解答 几何画板展示 2a AF1 AF2 4 a 2 设A x y F2 c 0 抛物线方程为y2 4x 解答 几何画板展示 若直线ON的斜率不存在 若直线ON的斜率存在 MN 2 ON 2 OM 2 设原点O到直线l的距离为d 典例 12分 椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点分别是F1 F2 离心率为 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1 设而不求 整体代换 思想与方法系列23 规范解答 思想方法指导 1 求椭圆C的方程 2 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 连接PF1 PF2 设 F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M m 0 求m的取值范围 3 在 2 的条件下 过点P作斜率为k的直线l 使得l与椭圆C有且只有一个公共点 设直线PF1 PF2的斜率分别为k1 k2 若k2 0 证明为定值 并求出这个定值 几何画板展示 对题目涉及的变量巧妙地引进参数 如设动点坐标 动直线方程等 利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组 再化为一元二次方程 从而利用根与系数的关系进行整体代换 达到 设而不求 减少计算 的效果 直接得定值 返回 解 2 设P x0 y0 y0 0 所以直线PF1 PF2的方程分别为 3 设P x0 y0 y0 0 返回 课时作业 1 求椭圆C的标准方程 得a2 4 b2 2 解答 1 2 3 4 2 如图 椭圆左顶点为A 过原点O的直线 与坐标轴不重合 与椭圆C交于P Q两点 直线PA QA分别与y轴交于M N两点 试问以MN为直径的圆是否经过定点 与直线PQ的斜率无关 请证明你的结论 解答 1 2 3 4 证明如下 设P x0 y0 则Q x0 y0 1 2 3 4 1 2 3 4 解答 1 求椭圆E的标准方程 1 2 3 4 2 若斜率为k的直线l过点A 0 1 且与椭圆E交于C D两点 B为椭圆E的下顶点 求证 对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 证明 1 2 3 4 设直线l y kx 1 得 3k2 2 x2 6kx 9 0 设C x1 y1 D x2 y2 则 易知B 0 2 1 2 3 4 2 所以对于任意的k 直线BC BD的斜率之积为定值 1 2 3 4 1 求椭圆的标准方程 a2 2 b2 1 1 2 3 4 解答 2 记椭圆的上顶点为M 直线l交椭圆于P Q两点 问 是否存在直线l 使点F恰为 PQM的垂心 若存在 求直线l的方程 若不存在 请说明理由 解答 1 2 3 4 假设存在直线l交椭圆于P Q两点 且F恰为 PQM的垂心 设P x1 y1 Q x2 y2 M 0 1 F 1 0 直线l的斜率k 1 于是设直线l为y x m 得3x2 4mx 2m2 2 0 1 2 3 4 又yi xi m i 1 2 x1 x2 1 x2 m x1 m 1 0 即2x1x2 x1 x2 m 1 m2 m 0 1 2 3 4 故存在直线l 使点F恰为 PQM的垂心 直线l的方程为3x 3y 4 0 1 2 3 4 1 若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形 求 果圆 的方程 1 2 3 4 解答 1 2 3 4 由题意 得a c 2b 1 2 3 4 解答 3 一条直线与果圆交于两点 两点的连线段称为果圆的弦 是否存在实数k 使得斜率为k的直