数值计算方法课件-CH4 数值积分—4.2 复合求积法.ppt

第四章数值积分 4 2复合求积法 计算机数值方法 2 4 2复合求积法 在Newton Cotes公式中 当n较大 时 Cotes系数有正有负 这将使舍入误差增大 另外 从余项的讨论我们看到 积分区间越小 则求积公式的截断误差也越小 因此 实际计算时不用高阶Newton Cotes公式 而是将积分区间先等分成若干个子区间 然后在每个子区间上用低阶Newton Cotes公式计算 最后把它们加起来得到整个区间的积分近似值 这就是复合求积法的基本思想 3 一 复合求积公式 节点为 1 复合梯形公式 由积分的区间可加性 可得 4 复合梯形公式 5 复合梯形公式分解 6 2 复合Simpson公式 复合Simpson公式 7 复合Simpson公式分解 8 3 复合Cotes公式 复合Cotes公式 9 例1 解 由题意知 a 0 b 1 由复合梯形公式 复合Simpson公式和复合Cotes公式知这三种方法均需用到区间上9个节点上的函数值 因此将区间8等分 计算9个节点处的函数值 函数值由计算得来 需注意的是 10 可得各节点的值如下表 11 分别由复合梯形 Simpson Cotes公式有 12 原积分的精确值为 精度最高 精度次高 精度最低 比较三个公式的结果 那么哪个复合求积公式的收敛最快呢 思考 13 单纯的求积公式 复合求积公式的每个小区间 二 复合求积公式的余项和收敛的阶 14 则复合梯形公式的余项为 由于 复合梯形公式的余项 由介值定理 使得 15 又由于当 复合梯形公式余项的近似式 16 复合Simpson公式的余项 复合Simpson公式余项的近似式 17 复合Cotes公式的余项 复合Cotes公式余项的近似式 18 比较三种复合公式的余项 为此引入收敛阶的概念来衡量数值积分公式收敛的快慢 19 定义2 故复合梯形公式 复合Simpson公式 复合Cotes公式的收敛阶分别为 2阶 4阶和6阶 20 三 步长的自动选择 变步长的复合求积公式 在数值积分中 精度是一个很重要的问题 复合求积法对提高精度是很有效的 由复合求积公式的余项表达式看到 精度与步长有关 步长取得太大 精度难以保证 步长太小 则会导致计算量的增加 并且积累误差也会增大 因此使用求积公式之前最好先给出步长 从理论上讲 可以根据复合求积公式的余项公式或其近似表达式 预先确定出恰当的步长h来 但在实际使用中 由于被积函数的高阶导数很难估计 或者被积函数没有解析表达式 因此这个预估h的方法是不宜使用的 实际计算中常常采用变步长的求积法 利用计算机自动的选择步长 即在步长逐次分半的过程中 反复利用复合求积公式进行计算 直到所求得的积分值满足精度要求为止 21 相应的复合梯形公式的余项为 自动选择步长的原理 以复合梯形公式为例 设将积分区间 a b 等分成n个子区间 其步长为 22 因此有 即 步长折半计算停止的控制条件 23 步长自动选取的步骤 依此类推 此时最后一次步长就是合适的步长 最后一次算得的积分值就是满足精