高三数学二轮复习第一篇专题通关攻略专题七概率统计1_7_3概率随机变量及其分布列课件理新人教版

第三讲概率 随机变量及其分布列 知识回顾 1 互斥事件 对立事件的概率公式 1 P A B 2 P A 2 古典概型的概率公式P A P A P B 1 P B 3 几何概型的概率公式P A 4 条件概率P B A 5 相互独立事件同时发生的概率P AB P A P B 6 独立重复试验与二项分布如果事件A在一次试验中发生的概率是p 那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn k k 0 1 2 n 用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数 则x服从二项分布 即X B n p 且P X k pk 1 p n k 7 超几何分布在含有M件次品的N件产品中 任取n件 其中恰有X件次品 则P X k k 0 1 2 m 其中m min M n 且n N M N n M N N 此时称随机变量X服从超几何分布 超几何分布的模型是不放回抽样 超几何分布中的参数是M N n 8 离散型随机变量的均值 方差 1 离散型随机变量 的分布列为 离散型随机变量 的分布列具有两个性质 pi 0 p1 p2 pi pn 1 i 1 2 3 n 2 E 为随机变量 的数学期望或均值 D 叫做随机变量 的方差 x1p1 x2p2 xipi xnpn x1 E 2 p1 x2 E 2 p2 xi E 2 pi xn E 2 pn 性质 E a b aE b D a b a2D X B n p 则E X np D X np 1 p X N 2 则E X D X 2 X服从两点分布 则E X p D X p 1 p 易错提醒 1 混淆互斥 对立事件 对立事件是互斥事件 但互斥事件不一定是对立事件 互斥 是 对立 的必要不充分条件 2 关注条件 概率的一般加法公式P A B P A P B P A B 中 易忽视只有当A B 即A B互斥时 P A B P A P B 此时P A B 0 3 混淆两种概型致误 易混淆几何概型与古典概型 两者共同点是基本事件的发生是等可能的 不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的 古典概型中基本事件的个数是有限的 4 注意区分两个事件 注意区分互斥事件和相互独立事件 互斥事件是在同一试验中不可能同时发生的两个事件 相互独立事件是指几个事件的发生与否互不影响 当然可以同时发生 考题回访 1 2016 全国卷 某公司的班车在7 30 8 00 8 30发车 小明在7 50至8 30之间到达发车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过10分钟的概率是 解析 选B 如图所示 画出时间轴 小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中 而当他到达时间落在线段AC或DB时 才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几何概型 所求概率P 2 2016 全国卷 从区间 0 1 随机抽取2n个数x1 x2 xn y1 y2 yn 构成n个数对 x1 y1 x2 y2 xn yn 其中两数的平方和小于1的数对共有m个 则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 解析 选C 由题意得 xi yi i 1 2 n 在如图所示的正方形中 而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知所以 3 2015 全国卷 投篮测试中 每人投3次 至少投中2次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为0 6 且各次投篮是否投中相互独立 则该同学通过测试的概率为 A 0 648B 0 432C 0 36D 0 312 解析 选A 根据独立重复试验公式得 该同学通过测试的概率为0 62 0 4 0 63 0 648 4 2014 全国卷 某地区空气质量监测资料表明 一天的空气质量为优良的概率是0 75 连续两天为优良的概率是0 6 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质量为优良的概率是 A 0 8B 0 75C 0 6D 0 45 解析 选A 设某天空气质量优良 则随后一天空气质量也优良的概率为p 则据题有0 6 0 75 p 解得p 0 8 热点考向一古典概型 几何概型及条件概型命题解读 高考对本考向的考查难度不大 主要是考查古典概型 几何概型公式的应用及条件概率公式的应用 三种题型都有可能出现 典例1 1 2016 北京高考 从甲 乙等5名学生中随机选出2人 则甲被选中的概率为 2 2016 泉州一模 如图 矩形ABCD中 点A在x轴上 点B的坐标为 1 0 且点C与点D在函数f x 的图象上 若在矩形ABCD内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率等于 3 一个口袋中装有6个小球 其中红球4个 白球2个 如果不放回地依次摸出2个小球 则在第1次摸出红球的条件下 第2次摸出红球的概率为 解题导引 1 本题属于古典概型的概率计算问题 2 先求C点的坐标 再求D点与A点的坐标 进而求得矩形面积与阴影部分图形的面积 代入几何概型概率公式求解 3 先根据题意确定条件概率中的两个事件 从口袋中摸出2个小球 第1次摸出红球 这是前提 从口袋中摸出2个小球 第1次摸出红球 第2次摸出的也是红球 求出相应的基本事件个数 然后代入古典概型的概率计算公式求值 最后代入条件概率的计算公式求值即可 规范解答 1 选B 把5名同学依次编号为甲乙丙丁戊 基本事件空间 甲乙 甲丙 甲丁 甲戊 乙丙 乙丁 乙戊 丙丁 丙戊 丁戊 包含基本事件总数n 10 设A表示事件 甲被选中 则A 甲乙 甲丙 甲丁 甲戊 包含基本事件数m 4 所以概率为P 2 选B 因为f x B点坐标为 1 0 所以C点坐标为 1 2 D点坐标为 2 2 A点坐标为 2 0 故矩形ABCD的面积为2 3 6 阴影部分的面积为 3 1 故 3 设 第1次摸出红球 为事件A 第2次摸出红球 为事件B 则 第1次和第2次都摸出红球 为事件AB 所求事件为B A 事件A发生的概率为P A 事件AB发生的概率为P AB 由条件概率的计算公式可得 所求事件的概率为答案 一题多解 本题还可用以下方法求解 因为已知第一次摸出的球为红球 故第二次摸球等价于从3个红球 2个白球中任取一个球 故所求概率P 答案 方法规律 1 利用古典概型求概率的关键及注意点 1 关键 正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数 这常常用到排列 组合的有关知识 2 注意点 对于较复杂的题目计数时要正确分类 分类时应不重不漏 2 几何概型的适用条件及求解关键 1 适用条件 当构成试验的结果的区域为长度 面积 体积 弧长 夹角等时 应考虑使用几何概型求解 2 求解关键 构成试验的全部结果的区域和事件发生的区域的寻找是关键 有时需要设出变量 在坐标系中表示所需要的区域 3 条件概率的求法 1 利用定义 分别求P A 和P AB 得P B A 这是通用的求条件概率的方法 2 借助古典概型概率公式 先求事件A包含的基本事件数n A 再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数 即n AB 得P B A 题组过关 1 2016 全国卷 为美化环境 从红 黄 白 紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 解析 选C 将4种颜色的花任选2种种在花坛中 余下的2种花种在另一个花坛中 有6种种法 其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有4种 故概率为 2 已知a 2 0 1 3 4 b 1 2 则函数f x a2 2 x b为增函数的概率是 解析 选B 因为f x a2 2 x b为增函数 所以a2 2 0 又a 2 0 1 3 4 所以a 2 3 4 又b 1 2 所以函数f x 为增函数的概率是 3 2016 山东高考 在 1 1 上随机地取一个数k 则事件 直线y kx与圆 x 5 2 y2 9相交 发生的概率为 解析 若直线y kx与圆 x 5 2 y2 9相交 则有圆心到直线的距离d 即所以所求概率答案 加固训练 1 2016 贵阳二模 若k 3 3 则k的值使得过A 1 1 可以作两条直线与圆 x k 2 y2 2相切的概率等于 解析 选C 由题可知点在圆外 过该点可作两条直线与圆相切 故使圆心与点A的距离大于半径即可 即 1 k 2 1 2 解得k2 所以所求k 3 0 2 3 所求概率P 2 2016 唐山一模 甲 乙 丙三个车床加工的零件分别为350个 700个 1050个 现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验 1 求从甲 乙 丙三个车床中抽取的零件的件数 2 从抽取的6个零件中任意取出2个 已知这2个零件都不是甲车床加工的 求其中至少有一个是乙车床加工的概率 解析 1 由抽样方法可知 从甲 乙 丙三个车床中抽取的零件数分别为1 2 3 2 记抽取的6个零件为a1 b1 b2 c1 c2 c3 事件 这2个零件都不是甲车床加工的 可能结果为 b1 b2 b1 c1 b1 c2 b1 c3 b2 c1 b2 c2 b2 c3 c1 c2 c1 c3 c2 c3 共10种可能 事件 其中至少有一个是乙车床加工的 可能结果为 b1 b2 b1 c1 b1 c2 b1 c3 b2 c1 b2 c2 b2 c3 共7种可能 故所求概率为P 0 7 热点考向二互斥事件 对立事件及相互独立事件的概率命题解读 互斥事件 对立事件常与古典概型相结合考查 相互独立事件主要考查事件同时发生的概率的求法 难度不大 各种题型都有可能出现 典例2 1 某个部件由两个电子元件按如图方式连接而成 元件1或元件2正常工作 则部件正常工作 设两个电子元件的使用寿命 单位 小时 均服从正态分布N 1000 502 且各个元件能否正常工作相互独立 那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 2 2016 昆明一模 在一块耕地上种植一种作物 每季种植成本为1000元 此作物的市场价格和这块地上的产量均有随机性 且互不影响 其具体情况如下表 设X表示在这块地上种植1季此作物的利润 求X的分布列 若在这块地上连续3季种植此作物 求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率 解题导引 1 由题意可知 只要元件1和元件2中有一个正常工作 则该部件就能正常工作 故可利用互斥事件的概率公式求解 2 利用 利润 产量 市场价格 成本 计算出不同的利润 再求出各自的概率即可列出分布列 由 可知第i季利润不少于2000元的概率 将问题转化为独立重复试验概率求解问题 规范解答 1 由正态分布知元件1 2的平均使用寿命为1000小时 设元件1 2的使用寿命超过1000小时分别记为事件A B 显然P A P B 所以该部件的使用寿命超过1000小时的事件为所以其概率P 答案 2 设A表示事件 作物产量为300kg B表示事件 作物市场价格为6元 kg 由题设知P A 0 5 P B 0 4 因为利润 产量 市场价格 成本 所以X所有可能的取值为500 10 1000 4000 500 6 1000 2000 300 10 1000 2000 300 6 1000 800 P X 4000 P P 1 0 5 1 0 4 0 3 P X 2000 P P B P A P 1 0 5 0 4 0 5 1 0 4 0 5 P X 800 P A P B 0 5 0 4 0 2 所以X的分布列为 设Ci表示事件 第i季利润不少于2000元 i 1 2 3 由题意知C1 C2 C3相互独立 由 知 P Ci P X 4000 P X 2000 0 3 0 5 0 8 i 1 2 3 3季的利润均不少于2000元的概率为P C1C2C3 P C1 P C2 P C3 0 83 0 512 3季中有2季利润不少于2000元的概率为 3 0 82 0 2 0 384 所以 这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0 512 0 384 0 896 母题变式 1 若将本例 1 中部件构成图变为如图 其中元件3服从的正态分布与元件1 元件2相同 元件1或元件2正常工作 且元件3正常工作 则部件正常工作 则结果如何 解析 设元件1 2 3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A B C 显然P A P B P C 所以该部件的使用寿命超过1000小时的事件为 所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 2 若将本例 1 的条件变为一个电路如图所示 A B C D E F为6个开关 其闭合的概率都是且是相互独立的 则灯亮的概率是多少 解析 设A与B中至少有一个不闭合的事件为T E与F至少有一个不闭合的事件为R C D不闭合的事件分别为C D 则P T P R 所以灯亮的概率P 1 P T P R P C P D 方法规律 求复杂事件概率的方法及注意点 1 直接法 正确分析复杂事件的构成 将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或一独立重复试验问题 然后用相应概率公式求解 2 间接法 当复杂事件正面情况比较多 反面情况较少 则可利用其对立事件进行求解 对于 至少 至多 等问题往往也用这种方法求解 3 注意点 注意辨别独立重复试验的基本特征 在每次试验中 试验结果只有发生与不发生两种情况 在每次试验中 事件发生的概率相同 题组过关 1 2016 南昌二模 现有编号从一到四的四个盒子 甲把一个小球随机放入其中一个盒子 但有的概率随手扔掉 然后让乙按编号顺序打开每一个盒子 直到找到小球为止 或根本不在四个盒子里 假设乙打开 前两个盒子没有小球 则小球在最后一个盒子里的概率为 解析 选B 不妨在原有的4个盒子的基础上增加一个盒子 且第5个盒子不能打开 小球被随手扔掉可看做放入第5个盒子 此时小球在第五个盒子里的概率都是由于小球不在第一 第二个盒子里 就只能在第三 四 五个盒子里 又因为在每个盒子里的概率相等 所以这个小球在最后一个盒子里的概率为 2 2016 贵阳一模 在某中学举办的校园文化周活动中 从周一到周五的五天中 每天安排一项内容不同的活动供学生选择参加 要求每位学生必须参加三项活动 其中甲同学必须参加周一的活动 不参加周五的活动 其余三天的活动随机选择两项参加 乙同学和丙同学可以在周一到周五中随机选择三项参加 1 求甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率 2 设X表示甲 乙 丙三名同学选择周三的活动的人数之和 求X的分布列 解析 1 设A表示事件 甲同学选周三的活动 B表示事件 乙同学选周三的活动 则P A 因为事件A B相互独立 所以甲同学选周三的活动且乙同学未选周三的活动的概率为 2 设C表示事件 丙同学选周三的活动 则P C X的可能取值为0 1 2 3 所以X的分布列为 加固训练 1 现有10道题 其中6道甲类题 4道乙类题 张同学从中任选3道题作答 已知所选的3道题中有2道甲类题 1道乙类题 设张同学答对每道甲类题的概率都是答对每道乙类题的概率都是且各题答对与否相互独立 则张同学恰好答对2道题的概率为 解析 设张同学答对甲类题的数目为x 答对乙类题的数目为y 答对题的总数为X 则X x y 所以P X 2 P x 2 y 0 P x 1 y 1 答案 2 2016 汉中二模 甲 乙 丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位 3人能被选中的概率分别为且各自能否被选中互不影响 1 求3人同时被选中的概率 2 3人中有几人被选中的情况最容易出现 解析 记甲 乙 丙能被选中的事件分别为A B C 则 1 3人同时被选中的概率为P1 P ABC P A P B P C 2 3人中有2人被选中的概率为P2 3人中只有1人被选中的概率为 3人均未被选中的概率为P4 由于P3 P2 P1 P4 即P3最大 综上可知 3人中只有1人被选中的情况最容易出现 热点考向三离散型随机变量的分布列命题解读 离散型随机变量的分布列 均值 方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查 试题类型有选择题 也有填空题 但更多的是解答题 难度中档 命题角度一超几何分布 典例3 2016 兰州一模 袋中装有大小相同的8个小球 其中5个白球的编号分别为1 2 3 4 5 3个黑球的编号分别为1 2 3 从袋中任意取出3个球 1 求取出的3个球编号都不相同的概率 2 记X为取出的3个球中编号的最大值 求X的分布列与数学期望 3 记每次取出的3个球所得的分数为Y 其中Y 2X 1 X为取出的3个球中编号的最大值 求Y的数学期望 解题导引 1 因为一共取出3个球 故由题意可知编号都不相同的对立事件是3个球中有两个球的编号相同 所以先利用排列 组合知识求出所求事件的对立事件的概率 然后转化为所求即可 2 先根据小球编号情况确定X的所有可能取值 分析其每个值对应事件的性质和类型 利用排列 组合的知识求出相应的概 率 然后列表即得分布列 最后代入数学期望的计算公式求值即可 3 根据两个变量之间的关系确定两个变量的数学期望之间的关系 然后直接利用 2 的结果表示所求 规范解答 1 记 取出的3个球编号都不相同 为事件A 取出的3个球中恰有两个球编号相同 为事件B 则由题意知 事件A与事件B互为对立事件 事件B表示从3对编号相同的小球中选取一对 再从其余的6个小球中任选一个即可 故P B 所以P A 1 P B 2 由题意 知X表示取出的3个球中编号的最大值 故X的所有可能取值为2 3 4 5 所以X的分布列为故其数学期望为E X 3 由已知得Y 2X 1 所以E Y 2E X 1 命题角度二与独立重复试验有关的分布列 典例4 2016 山东高考 甲 乙两人组成 星队 参加猜成语活动 每轮活动由甲 乙各猜一个成语 在一轮活动中 如果两人都猜对 则 星队 得3分 如果只有一个人猜对 则 星队 得1分 如果两人都没猜对 则 星队 得0分 已知甲每轮猜对的概率 是乙每轮猜对的概率是每轮活动中甲 乙猜对与否互不影响 各轮结果亦互不影响 假设 星队 参加两轮活动 求 1 星队 至少猜对3个成语的概率 2 星队 两轮得分之和X的分布列和数学期望E X 解题导引 1 要弄清 至少猜对3个 所包含的事件 2 找全两轮得分之和为X的可能值 然后计算每种可能值的概率 规范解答 1 由题意 星队 至少猜对3个成语包含 甲对一乙对二 与 甲对二乙对一 甲乙全对 2 星队 两轮得分之和X的可能值为 0 1 2 3 4 6 可得随机变量X的分布列为 规律方法 求解随机变量分布列问题的两个关键点 1 求离散型随机变量分布列的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 然后综合应用各类概率公式求概率 2 求随机变量均值与方差的关键是正确求出随机变量的分布列 若随机变量服从二项分布 则可直接使用公式法求解 题组过关 1 2016 平顶山二模 随着人口老龄化的到来 我国的劳动力人口在不断减少 延迟退休 已经成为人们越来越关注的话题 为了了解公众对 延迟退休 的态度 某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了50人进行调查 将调查情况进行整理后制成下表 年龄在 25 30 55 60 的被调查者中赞成人数分别是3人和2人 现从这两组的被调查者中各随机选取2人 进行跟踪调查 1 求年龄在 25