数的整除的复习.doc

数的整除（0除外）内容提要：奇数 按能否被2 按约数的 1 自然数 质数偶数 整除分类 个数分类 合数 分解质因数 两 数 关 系 质因数 互质数 整除 能被2、3、5整除的数的特征 约数 倍数 公约数 公倍数 最大公约数 最小公倍数1、 整除的意义整数a除以整数b（bo），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。说明：小学阶段讲“数的整除”时，所指的数，一般指不包括零的自然数。 例如：因为486=8，所以我们说“48能被6整除”，或者说6能整除48。 “整除”是两个数相除时，“除尽”中的一种特殊情况。整除与除尽的关系可以用下面的集合图表示。 除法 除尽 除不尽 例:4.55=0.9 例:整除 13=0. 例: 455=9 由图示可知,整除的又可以说是除尽,但除尽的不一定都是整除。2、 约数和倍数如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。例如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有：1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。例如：3的倍数有3、6、9、12其中最小的倍数是3本身。3、 数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：个位上是：0、2、4、6、8的数，都能被2整除。例如：28、90、304 都能被2整除。 能被2整除的数，叫做偶数。不能被2整除的数，叫做奇数。 如将自然数按能否被2整除的特征分类，如下图： 自然数 奇数： 偶数： 1、3、5 0、2、4、6注意：因为0能被2整除，所以0也是偶数。（2）能被5整除的数的特征：个位上是0或者5的数，都能被5整除。 例如：5、30、125、400都能被5整除。（3）能被3（或9）整除的数的特征：一个数各个数位上的数的和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。 例如：12、108、204、354、432都能被3整除，其中108、432又能被9整除。 注意：能被3整除的数不一定能被9整除，而能被9整除的数一定能被3整除。*（4）能被4（或25）整除的数的特征：一个数的末两位能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。 例如：16、404、1256、300都能被4整除。50、325、500、1675都能被25整除。*（5）能被8（或125）整除的数的特征：一个数的末三位能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。 例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除。1125、13375、5000都能被125整除。4、 质数和合数（1）质数：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。 100以内的质数有： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（2）合数：一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 例如：4、6、8、9、12都是合数。 注意：1不是质数也不是合数。 自然数（0除外）除了1以外，不是质数，就是合数。因此如果把自然数（0除外）按其约数的个数不同分类，可得下图： 自然数（0除外） 1 质数 合数5、 分解质因数（1）质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：15=35，3和5就叫做15的质因数。（2）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，在把除数和商写成连乘的形式。例如：把6和42分解质因数2 6 2 42 3 3 21 6=23 7 42=237应用：最简分数的分母分解质因数，如果只含有2、5两种质因数，则能化成有限小数。6、 最大公约数和最小公倍数（1）公约数和最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如： 12的约数 18的约数 4 1、2 9 12 3、6 19 12和18的公约数其中6是12和18的最大公约数（2）互质数：公约数只有1的两个数，叫做互质数。例如，3和7是互质数。15和16是互质数。成互质数的两个数，有下列几种情况 1和任何自然数必互质 相邻的两个自然数必互质 两个不同的质数必互质 当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。 两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。 2与任何奇数都互质如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。（3）公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其 中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如： 2的倍数 3的倍数 2 4 6 12 3 9 8 18 152和3的公倍数，其中6是2和3的最小公倍数注意：几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。求几个数的最大公约数和最小公倍数的，通常用短除法。求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商只有公约数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的最大公约数。求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。例如：求30，42和60的最大公约数和最小公倍数。用三个数的公约数除 2 30 42 603 15 21 30除到公约数只有1为止 5 7 1030，42和60的最大公约数是23=62 30 42 60用三个数的公约数除 3 15 21 30再用其中两个数的公约数除 5 5 7 10 除到两两互质为止 1 7 2 30，42和60的最小