方波的傅里叶分解与合成.doc

方波的傅里叶分解与合成【实验目的】1.用RLC串联谐振方法将方波分解成基波和各次谐波，并测量它们的振幅与相位关系。2.将一组振幅与相位可调正弦波由加法器合成方波。3.了解傅里叶分析的物理含义和分析方法。【实验仪器】FD-FLY-A型傅里叶分解与合成,示波器，电阻箱，电容箱，电感。【实验原理】1.数学基础任何具有周期为T的波函数f(t)都可以表示为三角函数所构成的级数之和，即：其中：T为周期，为角频率。；第一项为直流分量。所谓周期性函数的傅里叶分解就是将周期性函数展开成直流分量、基波和所有阶谐波的迭加。如图1所示的方法可以写成： 此方波为奇函数，它没有常数项。数学上可以证明此方波可表示为： =同样，对于如图2所示的三角波也可以表示为： =图3波形分解的RLC串联电路2.周期性波形傅里叶分解的选频电路我们用RLC串联谐振电路作为选频电路，对方波或三角波进行频谱分解。在示波器上显示这些被分解的波形，测量它们的相对振幅。我们还可以用一参考正弦波与被分解出的波形构成李萨如图形，确定基波与各次谐波的初相位关系。本仪器具有1KH的方波和三角波供做傅里叶分解实验，方波和三角波的输出阻抗低，可以保证顺利地完成分解实验。实验原理图如图3所示。这是一个简单的RLC电路，其中R、C是可变的。L一般取0.1HH范围。当输入信号的频率与电路的谐振频率相匹配时，此电路将有最大的响应。谐振频率为：=。这个响应的频带宽度以Q值来表示：Q。当Q值较大时，在附近的频带宽度较狭窄，所以实验中我们应该选择Q值足够大，大到足够将基波与各次谐波分离出来。如果我们调节可变电容C，在n频率谐振，我们将从此周期性波形中选择出这个单元。它的值为：，这时电阻R两端电压为： ，此式中，X为串联电路感抗和容抗之和，Z为串联电路的总阻抗。在谐振状态X0，此时，阻抗ZRRLRCRRL ，其中，方波（或三角波）电源的内阻；R为取样电阻；RL为电感的损耗电阻；RC为标准电容的损耗电阻(RC值常因较小而忽略）。电感用良导体缠绕而成，由于趋肤效应，RL的数个将随频率的增加而增加。实验证明碳膜电阻及电阻箱的阻值在1KHz7KHz范围内，阻值不随频率变化。3.傅里叶级数的合成仪器可提供振幅和相位连续可调的1KHz，3KHz，5KHz，7KHz四组正弦波。如果将这四组正弦波的初相位和振幅按一定要求调节好以后，输入到加法器，叠加后，就可以分别合成出方波、三角波等波形。【实验内容与步骤】方波的傅里叶分解1.先确定RLC串联电路对1KHz，3KHz，5KHz正弦波谐振时的电容值C1、C3、C5，并与理论值进行比较。实验中，观察在谐振状态时，电源总电压与电阻两端电压的关系。可从李萨如图为一直线，说明此时电路显示电阻性，接线图如下。（电感：L=0.1H(标准电感)，理论值：）图4 确定RLC电路谐振电容接线图2.将1KHz方波进行频谱分解，测量基波和n阶谐波的相对振幅和相对相位，接线图如下。图5 频谱分解接线图将1KHz方波输入到RLC串联电路，如图5所示。然后调节电容值至C1，C3，C5值附近，可以从示波器上读出只有可变电容调在C1，C3，C5时产生谐振，且可测得振幅分别为b1，b3，b5（这里只需比较基波和各次谐波的振幅比，所以只要读出同一量程下示波器上的峰值高度即可）；而调节到其它电容值时，却没有谐振出现。3.相对振幅测量时，用分压原理校正系统误差。若：为3KHz谐波校正后振幅，为3KHz谐波未被校正时振幅。为1KHz使用频率时损耗电阻。为3KHz使用频率时损耗电阻，r为信号源内阻。则：1）测量方波信号源的内阻r。先直接将方波信号接入示波器，读出峰值；再将一电阻箱接入电路中，调节电阻箱，当示波器上的幅度减半时，记下电阻箱的值，此值即为r。接线图如下：图6 测量信号源内阻电路2）不同频率电流通过电感损耗电阻的测定。图7 测量电感损耗电阻原理图对于0.1H空心电感可用下述方法测定损耗电阻R 。接一个如图7的串联谐振电路。测量在谐振状态时，信号源输出电压VAB 和取样电阻R两端的电压VR（用示波器测量VAB、VR电压），则：RC为标准电容的损耗电阻，一般较小可忽略。同理测出3KHz、5KHz下电感的损耗电阻，接线图如下。图8 测量电感损耗电阻接线图傅里叶级数合成：A方波的合成以上式中可知，方波由一系列正弦波(奇函数)合成。这一系列正弦波振幅比为1:，它们的初相位为同相。1.用李萨如图形反复调节各组移相器1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波同位相。调节方法是示波器X轴输入1KHz正弦波：而Y轴输入1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波在示波器上显示如下波形时：图9 基波和各次谐波与参考信号相位差都为时的利萨如图此时，基波和各阶谐波初相位相同。也可以用双踪示波器调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波初相位同相。2.调节1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波振幅比为1:。3.将1KHz、3KHz、5KHz、7KHz正弦波逐次输入加法器，观察合成波形变化。B 三角波的合成三角波傅里叶级数表示式：1.将1KHz正弦波从X轴输入，用李萨如图形法调节各阶谐波移相器调节初相位为如下图形：图10 相邻谐波相位相差2.调节基波和各阶谐波振幅比为：。3.将基波和各阶谐波输入加法器，输出接示波器，可看到合成的三角波图形。【数据记录及处理】1.方波的傅里叶分解表一：频谱分解实验数据。谐振频率/KHz1无谐振3无谐振5谐振时电容值Ci/C1和C3之间C3和C5之间相对振幅/cm-李萨如图-与参考正弦波位相差-表二：电感损耗电阻实验数据。取样电阻R= ，信号源内阻测量得r= ，电感L=0.1H。使用频率/KHz损耗电阻RL/1.003.005.00校正后基波和谐波的振幅比; 。2.傅里叶级数合成合成谐波1KHz1KHz，3KHz1KHz，3KHz，5KHz1KHz，3KHz，5KHz，7KHz合成波形实验结果分析：【注意事项】1.分解时,观测各谐波相位关系,可用本机提供的1KHz在正弦波做参考；2.合成方波时,当发现调节5KHz或7KHz正弦波相位无法调节至同相位时,可以改变1KHz或3KHz正弦波相位,重新调节最终达到各谐波同相位。【思考题】1.实验中可有意