中考数学第一部分考点研究第三章函数第五节二次函数的综合应用课件

第三章函数第五节二次函数的综合应用 重难点突破 二次函数综合题 难点 例1 2016铜仁节选 如图 抛物线y ax2 bx 1 a 0 经过A 1 0 B 2 0 两点 与y轴交于点C 类型一与线段 周长有关的问题 例1题图 思维教练 已知点A B的坐标且在抛物线上 将其代入抛物线解析式 求解即可 然后将其解析式化为顶点式即可求得顶点坐标 1 求抛物线的解析式及顶点D的坐标 解 把A B两点坐标代入y ax2 bx 1得 解得 抛物线的解析式为 即 2 点P在抛物线的对称轴上 当 ACP的周长最小时 求出点P的坐标 思维教练 要使 ACP的周长最小 因AC长固定 只需AP CP长最小即可 因为点A与点B关于抛物线对称轴对称 即AP BP 则只需BP CP长最小即可 所以连接BC BC与对称轴的交点即为周长最小时的点P 由抛物线的解析式可以求得C点的坐标 再由B C点的坐标即可求得BC直线的解析式 进而可求得P点的坐标 解 如解图 A B两点关于抛物线的对称轴对称 当 ACP的周长最小时 点P应为直线BC与抛物线对称轴交点 由 1 知点C的坐标为 0 1 抛物线的对称轴为x 设直线BC的解析式为y kx b k 0 代入B C两点坐标得 例1题解图 解得 直线BC解析式为 在直线BC上 当时 例2如图 已知抛物线y x2 bx c与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 与y轴交于点C 抛物线的对称轴与抛物线交于点P 与直线BC交于点M 连接PB 类型二与面积有关的问题 例2题图 1 求抛物线的解析式 思维教练 已知抛物线与x轴交于A 1 0 B 3 0 两点 利用两点式即可求解 解 由题意可知点A 1 0 点B 3 0 是抛物线与x轴的两个交点 抛物线的解析式为y x 1 x 3 x2 2x 3 2 求 PBC的面积 思维教练 已知 PBC三边均不在坐标轴上 要求 PBC的面积 只需求 PMC与 PMB的面积和 转化为求线段PM的长 结合直线BC的解析式求得点M的坐标即可 解 抛物线的解析式为y x2 2x 3 x 1 2 4 抛物线的对称轴为直线x 1 顶点坐标为P 1 4 点C的坐标为 0 3 设直线BC的解析式为y kx d k 0 则 解得 直线BC的解析式为y x 3 当x 1时 y 2 点M的坐标为 1 2 PM 4 2 2 S PBC PM xB xC 2 3 3 即 PBC的面积为3 3 在第一象限内的抛物线上是否存在点D 使得 BCD的面积最大 若存在 求出点D的坐标及 BCD面积的最大值 若不存在 请说明理由 思维教练 设出点D的坐标 同 2 问表示出 BCD的面积 利用二次函数的最值即可求解 解 存在 设D t t2 2t 3 如解图 作DH x轴交BC于点H 则H t t 3 例2题解图 当时 即D的坐标为时 S BCD有最大值 且最大面积为 例3 2016黄冈 如图 抛物线与x轴交于点A 点B 与y轴交于点C 点D与点C关于x轴对称 点P是x轴上的一个动点 设点P的坐标为 m 0 过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q 例3题图 1 求点A 点B 点C的坐标 思维教练 要想求A B C点坐标 可以发现它们均在抛物线上 且在x轴 y轴上 分别令y 0 x 0 可依次求出点A B C的坐标 解 当y 0时 解得x1 4 x2 1 则A 1 0 B 4 0 当x 0时 y 2 则C 0 2 2 求直线BD的解析式 思维教练 要想求直线的解析式 只要知道直线上两点的坐标即可求解 可以发现点B D均在直线上 且点B坐标已知 点D的坐标可利用对称点的坐标规律求出 解 点D与点C关于x轴对称 点D为 0 2 设直线BD的解析式为y kx b 将D 0 2 和B 4 0 分别代入 得 解得 直线BD的解析式为 思维教练 在四边形CQMD中 已知CD QM 若要使四边形CQMD为平行四边形 则需满足CD QM且CQ DM即可 由于CD 4 可考虑证CD QM 则需用含m的式子表示出线段QM的长 根据CD QM列方程即可求m值 3 当点P在线段OB上运动时 直线l交BD于点M 试探究m为何值时 四边形CQMD是平行四边形 解 易知CD QM 若CD QM 则四边形CQMD为平行四边形 P m 0 点P在线段OB上运动 CD 4 解得m 2或m 0 舍去 故当m 2时 四边形CQMD为平行四边形 4 在点P的运动过程中 是否存在点Q 使 BDQ是以BD为直角边的直角三角形 若存在 求出点Q的坐标 若不存在 请说明理由 思维教练 要求点Q的坐标 它需满足 BDQ是以BD为直角边的直角三角形 只要是直角三角形都满足勾股定理 所以用m将点Q的坐标表示出来 得到QB2 DQ2 BD2 然后分情况讨论 点B为直角顶点时 点D为直角顶点时 解 存在点Q 使 BDQ是以BD为直角边的直角三角形 设点Q的坐标为则 当以点B为直角顶点时 则BQ2 BD2 D