线性代数总结.doc

线性代数期末总结 光阴似箭日月如梭，一学期过得真的很快。但是呢！在这学期我还是学到了很多东西，是有所收获的。这学期差不多有5个月，线性代数这本书有5章，差不多就一个月学完一章。在学习的过程中，刚开始接触到这门课程的时候，还是有点迷糊，学着也有点吃力。但是在后来通过不断的看书，不断的做题，不断的总结归纳，就掌握了很多这门课的学习技巧，学习起来也就轻松多了。 我觉得这门课程理解和计算很重要，理解是理解定义和性质，计算是将理解的定义和性质运用到实际中去，并形成记忆。如果有些题型不太好理解的话，就多看一下概念，多想一下计算技巧，多翻阅一下资料，这样就会对理解难一点的题型有很大的帮助。我们在解决问题遇到困难的时候不要因为不会做就不假思索的马上去请教别人，我们应该独立的思考一下这些问题，尽自己最大的努力想办法解决问题。如果挣扎了很久还没有解决问题，这个时候我们再向其他人寻求帮助，这样我们不仅因为这道题，知道了更多的知识，而且还培养了自己独立思考的能力。 关于这门课程我的学习方法：第一：课前预习：主要弄懂概念，做一下例题，把不懂的东西做下记号。第二：上课认真听老师讲课：我觉得上课跟着老师的思路走很重要，因为数学这东西逻辑性很强，如果上课注意力不集中，就会遗留一些想不通的问题，下来要花很多时间去解决，如果上课集中精力听讲，就可以达到事半功倍的效果。上课的时候要特别注意自己预习没弄懂的知识点，并把它弄懂。老师讲不同的题型的时候不要一味的去抄题，只需要记下解题方法和思路。掌握了解题方法，遇到同样的题型差不多都会了。第三：课后要多练习，多查阅一下资料。做不同类型的题要学会总结，总结一些解题思路和方法，比如说这道题用了一个什么样的性质或公式变换来解决，并在不同题型的旁边写下解题思路，便于以后复习。第四：复习的时候会做的题型看一下就行了，主要研究一些自己记忆模糊或不会做的题，并花时间弄懂。不管是平时做题还是考试都要细心，因为一步算错会影响到整体。关于这学期每一章节的要点总结：第一章：行列式我在学习这一章的过程中认为行列式的性质和计算方法很重要，其次要知道一些概念性的东西，比如代数余子式的概念、表示方法以及计算，克拉默法则的中心思想和运用。这个章节我总结的和在资料书上摘抄的重点：1、 n阶行列式是由n2个数排列成n行n列，所决定的一个算法，计算结果是一个数，而矩阵是一个数表。2、 代数余子式：在一个n级行列式D中,把元素aij (i,j=1,2,.n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)(i+j)称为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)(i+j)Mij。3、 行列式的性质：（1）、行列互换行列式的值不变D=DT（转置）（2）、交换行列式的两行或列，行列式的值要变号。（3）、某行（列）有公因式可以将其提到行列式符号之外。（4）、某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不变。（5）、如果行列式某行（列）的每个元素都是两个数之和，则可以按行（列）将行列式分裂成两个行列式之和（6）、如果A、B都为n阶方阵，则有|AB|=|A|*|B|。（7）、|kA|=kn|A|, A为n阶方阵。（8）、|A-1|*|A|=1,|A-1|=|A|-1,A-1为n阶方阵A的逆矩阵。（9）、行列式任意一行（列）上所有元素与它的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，任意一行（列）上所有元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于零。（10）、行列式有两行（列）完全相同行列式值为0.（11）、行列式中有某行（列）全为零，或与另一行（列）对应元素成比例，则该行列式值为0.4、克拉默法则：通过xi=Di/D，解n个未知数，n个方程的线性方程组，Di是将行列式D的第i列用方程组右端n个常数自然数形成的列代替所得的n阶行列式。(1)、局限性：a、该法则只适用于方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不等于0的方程组。 b、在能够应用的情形，n+1个n阶行列式。（2）齐次线性方程组的系数行列式D不等于0时，它只有唯一的零解。当D=0时出现两种情况：无解，或无穷个解。5、行列式的计算方法：（1）用行列式定义或性质计算。（2）将行列式用性质化为上三角、下三角形状或主对角线、次对角线行列式的形式计算。（3）可以将行列式按某一行某一列展开计算其值（降阶）（4）利用范德蒙行列式求值（5）利用递推法（归纳法）求行列式的值（适用于高阶行列式与低阶行列式有相同模式的题型。（6）各行（列）元素之和为常数的行列式计算：先将各行（列）相加，其次提取公因式，然后用各行减去第一行，或各列减去第一列，得到三角形行列式，再计算其值。（7）、相邻两行（列）对应元素相差1的行列式计算：首先，从第一行（列）起，前行列减去后行（列），或从第n行起，后行（列）减去前行（列）。然后在新行列式中有很多1或-1的元素，再利用性质将其化为0元素多的行列式计算。（8）升阶法：在原行列式上加上一行一列使原行列式值不变，一般都是首非零元为1，行的其它元素为0，列的其它元素任意取，或者列的其它元素为0，行的其它元素任意取（适用于行列式中各行（列）有较多相同元素的行列式）第二章：矩阵及其运算我觉得这一章运算比较重要，其次要弄清楚系数矩阵、增广矩阵，方阵（行数列数相同）、零矩阵（元素全为零）、行矩阵（n维行向量）、列矩阵（n维列向量）的表示符号和区别必须为方阵的特殊矩阵：对角矩阵、数量矩阵（主对角线所有元素相同）、单位矩阵(主对角线上所有元素为1)、n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵，记清楚这些特殊矩阵的表示符号和区别。1、 矩阵的运算：加法运算（必须是同型矩阵）（1）、加法交换律：A+B=B+A（2）、加法结合律：（A+B）+C=A+(B+C) (3)、零矩阵满足：A+0=A（4）、存在负矩阵A，满足AA=A+(A)乘法运算：A能从左乘B的充要条件：A的列数恰与B的行数相等。（1）、k(BC)=BkC(2)、左乘分配率：A(B+C)=AB+AC，右乘：(A+B)C=AC+BC(3)、(AB)C=A(BC) (4)方阵的幂：（A为n阶方阵）A0=E, A(k+1)=Ak*AAk*Al=A(k+l), (Ak)l=Akl(k，l为整数)(5)、关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若ABBA，称AB是可交换矩阵）矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|kA|=kn|A|2、 矩阵的转置:AT中心思想是把行和列互换。（若A为m*n行矩阵，则AT为n*m行矩阵）运算公式：（1）(AT)T=A (2)(A+B)T=AT+BT (3)(AB)T=BT*AT3、对称矩阵与反对称矩阵：如果方阵A满足AT=A，则称A为对称矩阵，若方阵AT=A，则称A为反对称矩阵。（奇数阶反对称矩阵的行列式为0）4、方阵的行列式：|A|或Det（A）运算公式：(1)|AT|=|A| (2)|kA|=kn*A (3)|AB|=|BA|=|A|B| (4)|A-1|=1/|A|5、逆矩阵：（1） A、B为n阶方阵，若ABBAE，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）（2）性质： (AB)-1=(B-1)*(A-1) （注意顺序） (A-1)-1=A （kA）-1=1/k*A-1 (AT)-1=(A-1)T（3）矩阵可逆的条件：|A|不等于0，且A-1=A*/|A|(4)求逆矩阵的方法：用公式A-1=A*/|A|求 （A|E）=(EA-1)进行初等行变换求（5）奇异矩阵没有逆矩阵。（6）矩阵A 可逆是，其逆矩阵只能记为A-1不能记为1/A6、伴随矩阵：对于n阶矩阵A有：A*A=AA*=|A|E7、矩阵的秩：（1）定义：非零子式的最大阶数，称为矩阵的秩。 （2）求法：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵） 思路：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。8、分块矩阵：做法：将大矩阵A用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，原矩阵看做由小矩阵排成若干行、若干列组成。 同一行上所有小矩阵行数相同，同一列上的小矩阵列数相同。第三章：线性方程组重点：学会求线性方程的基础解系和通解（一般解），弄懂线性表示，线性相关、线性无关、向量组的秩与最大无关子组的概念，知道应该怎样运用。1、线性方程组的判定：（1）系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，方程组无解 （2）系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于方程个数，有唯一解 （3）系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩小于方程个数（n），有无穷多组解，未知变量为n-r个 对于齐次线性方程组：Ax=0(1) r(A)=n，有唯一零解(2) r(A)=2)线性相关，可以推出A中至少有一个向量能有其余m-1个向量线性表出。（2）两个向量线性相关可以得到对应元素成比例，两个向量线性无关，对应元素不成比例。（3）单个非零向量线性无关（4）单个零向量线性相关。（5）含有零向量的向量组一定线性相关。（6）向量组A：1，2m(m=2)线性相关，可以推出r（A）m,线性无关r（A）=m（7）n维单位向量组线性无关（8）向量组A：1，2m线性无关，而向量组B；1，2m, 线性相关，则能由A组向量线性表出，且表达式唯一。（9）m个n维向量组，当个数m大于维数n时，必线性相关。（10）若向量组1，2m线性相关，且可由1，2，.n线性表出，则mn，则向量组A必线性相关。4、极大无关子组：（1）任一向量组和它的极大无关组是等价的（2）向量组的极大无关组，不是唯一的，且彼此等价，秩相等（3）两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相同，即等价的向量组秩相等。（4）如果一个向量组仅有零向量，则秩为0（5）矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩。5、向量组极大无关子组秩的求法：（1）定义法（2）初等行变换法7、基础解系：（1）所含解向量个数为n-r，r为系数矩阵A的秩。 （2）由于自有变量的取法不唯一，所以基础解系不是唯一的但任何一个基础解系所含解向量的个数都是n-r个。第四章：矩阵的特征值与特征向量（整章都是针对n阶方阵而言）重点：矩阵特征值和特征向量的求法，判断两个矩阵相似的方法，判断矩阵是否可对角化和对角矩阵的求法，是对角矩阵的求法1、 特征值得求法：（1）通过关于特征方程|EA|=0求出特征值（2）将的值代入（iEA）X=0求得i.2、特征值和特征向量的性质：（1）n阶矩阵A与它的转置AT有相同的特征值。（2）设是方阵A的特征值，不等于0是属于的特征向量，则有2是A2的特征值，是A2属于2的特征向量当A可逆时，1/是A-1的特征值，|A|/是伴随矩阵A*的特征值，认识相应的特征向量（3）n阶方阵A 的属于互不相等的特征值1、2n的特征向量1、2n线性无关。（4）属于一个特征值的特征向量可以不唯一，但是一个特征向量不能属于不同的特征值。3、相似矩阵的特征（用于求已知两矩阵相似，求矩阵中未知数的问题）（1）AB，则r(A)=r(B),且|A|=|B|（2）AB,则A-1B-1(3) AB,则AkBk（用于求已知矩阵A，通过相似求An的题（4）AB,| EA|=| EB|（5）若n阶矩阵A与对角矩阵D相似，1、2n是A的n个特征值。5、矩阵对角化：（1）n阶方阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征值（判定A能否对角化）（2）若n阶方阵A有n个两两不相同的特征值1、2n，则A可对角化，相似矩阵为特征值组成的主对角矩阵。（3）n阶方阵A可对角化的充要条件为A的k重特征值恰有nk个线性无关的特征向量。6、实对角矩阵的特征值与特征向量：（1）实对称矩阵的特征值均为实数（2）实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。（用于求知道A的特征值和其所对应的特征向量求A）7、实对称矩阵对角矩阵和正交矩阵的求法：（1）求出所有特征值（2）求出所有特征值对应的特征向量（3