中考数学总复习 第30讲 圆的基本性质课件

第30讲圆的基本性质 内容索引 基础诊断梳理自测 理解记忆 考点突破分类讲练 以例求法 易错防范辨析错因 提升考能 基础诊断 返回 知识梳理 1 1 圆的有关概念 1 圆 平面上到的距离等于的所有点组成的图形叫做圆 定点叫圆心 定长叫半径 以O为圆心的圆记作 O 2 弧和弦 圆上任意两点间的部分叫 连接圆上任意两点的线段叫 经过圆心的弦叫直径 直径是最长的弦 3 圆心角 顶点在 角的两边与圆相交的角叫圆心角 4 圆周角 顶点在 角的两边与圆相交的角叫圆周角 5 等弧 在同圆或等圆中 能够完全的弧 定点 定长 弧 弦 圆心 圆上 重合 2 圆的有关性质 1 圆的对称性 圆是轴对称图形 其对称轴是 圆是中心对称图形 对称中心是 旋转不变性 即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度 都能与原来的图形重合 过圆心的任意一条直线 圆心 2 垂径定理及推论 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 3 弦 弧 圆心角的关系定理及推论 弦 弧 圆心角的关系 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧 所对的弦 推论 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦 两条弦心距中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 相等 相等 4 圆周角定理及推论 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 一半 相等 直角 直径 5 点和圆的位置关系 设d为点P到圆心的距离 r为圆的半径 点P在圆上 dr 点P在圆内 dr 点P在圆外 dr 6 过三点的圆 经过不在同一直线上的三点 有且只有一个圆 三角形的外心 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心叫做三角形的 三角形的外心是三边的交点 这个三角形叫做这个圆的内接三角形 外心 中垂线 3 与圆相关的辅助线 A CE DEB AE OEC D OCE ODE 1 2015 广元 如图 已知 O的直径AB CD于点E 则下列结论一定错误的是 诊断自测 2 B 1 2 3 4 5 解析 AB是直径 且AB CD AB平分弦CD以及CD所对的优弧 选项A C都正确 OCE和 ODE都是直角三角形 且CE DE CO DO Rt OCE Rt ODE HL 选项D正确 2 2016 绍兴 如图 BD是 O的直径 点A C在 O上 AOB 60 则 BDC的度数是 D 1 2 3 4 5 A 60 B 45 C 35 D 30 3 2016 黄石 如图所示 O的半径为13 弦AB的长度是24 ON AB 垂足为N 则ON A 5B 7C 9D 11 A 1 2 3 4 5 解析由题意可得 OA 13 ONA 90 AB 24 4 2016 乐山 如图 C D是以线段AB为直径的 O上两点 若CA CD 且 ACD 40 则 CAB A 10 B 20 C 30 D 40 B 1 2 3 4 5 解析 ACD 40 CA CD ABC CDA 70 AB是直径 ACB 90 CAB 90 B 90 70 20 5 2016 聊城 如图 四边形ABCD内接于 O F是上一点 且 连接CF并延长交AD的延长线于点E 连接AC 若 ABC 105 BAC 25 则 E的度数为 B 返回 1 2 3 4 5 A 45 B 50 C 55 D 60 解析 四边形ABCD内接于 O ABC 105 ADC 180 ABC 180 105 75 DCE BAC 25 E ADC DCE 75 25 50 考点突破 返回 例1 2016 宜昌 在公园的O处附近有E F G H四棵树 位置如图所示 图中小正方形的边长均相等 现计划修建一座以O为圆心 OA为半径的圆形水池 要求池中不留树木 则E F G H四棵树中需要被移除的为 考点一 点与圆的位置关系 A A E F GB F G HC G H ED H E F 答案 分析 规律方法 OE 2 OA 即点E在 O内 OF 2 OA 即点F在 O内 OG 1 OA 即点G在 O内 规律方法 本题是点与圆的位置关系 主要考查了网格中计算两点间的距离 比较线段长短的方法 计算距离是解本题的关键 点到圆心的距离小于半径 点在圆内 点到圆心的距离大于半径 点在圆外 点到圆心的距离等于半径 点在圆上 规律方法 练习1 答案 分析 2016 连云港 如图 在网格中 每个小正方形的边长均为1个单位 选取9个格点 格线的交点称为格点 如果以A为圆心 r为半径画圆 选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内 则r的取值范围为 B AB AE AD 垂径定理及其应用 考点二 例2 2016 宿迁 如图 在 ABC中 已知 ACB 130 BAC 20 BC 2 以点C为圆心 CB为半径的圆交AB于点D 则BD的长为 分析如答图 作CE AB于E B 180 BAC ACB 180 20 130 30 在Rt BCE中 CEB 90 B 30 CB 2 答案 分析 规律方法 本题考查垂径定理 三角形内角和定理等知识 解题的关键是根据垂径定理添加辅助线 记住直角三角形30 角性质 属于基础题 中考常考题型 规律方法 2016 绍兴 如图1 小敏利用课余时间制作了一个脸盆架 图2是它的截面图 垂直放置的脸盆与架子的交点为A B AB 40cm 脸盆的最低点C到AB的距离为10cm 则该脸盆的半径为cm 练习2 答案 分析 25 分析如答图 设圆的圆心为O 连接OA OC OC与AB交于点D 设 O半径为R 在Rt AOD中 ADO 90 OA2 OD2 AD2 R2 202 R 10 2 R 25 考点三圆心角与圆周角定理 例3 2016 连云港 如图 正十二边形A1A2 A12 连接A3A7 A7A10 则 A3A7A10 答案 分析 规律方法 分析设该正十二边形的圆心为O 如答图 连接A10O和A3O 75 本题主要考查正多边形及其外接圆的性质及圆周角定理 作出恰当的辅助线 灵活运用有关定理来分析是解答此题的关键 规律方法 2016 娄底 如图 已知AB是 O的直径 D 40 则 CAB的度数为 A 20 B 40 C 50 D 70 练习3 分析 D 40 B D 40 AB是 O的直径 ACB 90 CAB 90 40 50 答案 分析 C 例4 2016 吉林 如图 四边形ABCD内接于 O DAB 130 连接OC 点P是半径OC上任意一点 连接DP BP 则 BPD可能为度 写出一个即可 分析连接OB OD 四边形ABCD内接于 O DAB 130 DCB 180 130 50 由圆周角定理得 DOB 2 DCB 100 DCB BPD DOB 即50 BPD 100 BPD可能为80 圆内接多边形 考点四 80 答案不唯一 答案 分析 规律方法 本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质 关键在于找出两个角之间的关系 利用代换的方法求解 规律方法 2016 娄底 如图 四边形ABCD为 O的内接四边形 已知 C D 则AB与CD的位置关系是 分析 四边形ABCD为 O的内接四边形 A C 180 又 C D A D 180 AB CD AB CD 练习4 答案 分析 返回 易错防范 返回 试题 ABC内接于半径为r的 O 且BC AB AC OD BC于D 若OD r 求 A的度数 易错警示系列30 勿忘外心在三角形形外 错误答案展示解 当圆心O在 ABC内时 如图1 连接OB OC OCD 30 DOC 60 同理可得 BOD 60 BOC 120 A 60 当圆心O在 ABC外时 如图2 同上 可求得 BOC 120 A BOC 120 综上可知 A的度数为60 或120 正确解答 分析与反思 剖析 图1 图2 分析与反思 剖析上述解法看上去好像思考周全 考虑了两种情况 其实又错了 因为BC AB AC BC是不等边 ABC的最大边 所以 A 60 不正确 产生错误的根源是图画得不准确 忽视了圆心的位置 实际上本题的圆心应