精度与误差.doc

1精度指标1.1 精密度：反映偶然误差的平均大小的度量。1.2 准确度：反映系统误差的平均大小的度量。1.3 精确度：反映偶然误差和系统误差平均大小的度量，而传统的精度指标指的是这里的精密度。1.1.1精密度：定义为误差的方差：即，其中D、E分别为量差和数学期望算子。由代入上式有：,即误差的方差等于观测值的方差。1.2.1准确度：定义为误差的数学期望，即,称为观测值得偏差，当仅有任意误差时，,此时观测值为无偏观测值，当有系统误差存在时，有,为有偏观测。1.3.1精确度：定义为误差平方的数学期望，即为误差的均方误差，由于，所以有,即误差的均方误差等于观测值的均方误差。2. 误差指标2.1 方差设X是一个随机变量，若EX-E(X)2存在，则称EX-E(X)2为X的方差，记为D(X)或DX。 即D(X)=EX-E(X)2称为方差，而(X)=D(X)0.5（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。 方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。 因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。 方差的计算由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=X-E(X)2 pi 方差其实就是标准差的平方。 方差的几个重要性质（1）设c是常数，则D(c)=0。 （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c2)D(X)。 （3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0（常见协方差）， 则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况. （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即PX=c=1，其中E(X)=c。 常见随机变量的期望和方差设随机变量X。 X服从(01)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p) X服从泊松分布，即X (),则 E(X)= ，D(X)= X服从均匀分布，即XU(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12 X服从指数分布，即Xe(), E(X)= (-1)，D(X)= (-2) X服从二项分布，即XB(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p) X 服从正态分布，即XN(,2), 则E(x)=, D(X)=2 X 服从标准正态分布，即XN(0,1), 则E(x)=0, D(X)=12.2 均方根误差2.3 标准偏差标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其他指标配合使用。标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。因此，标准偏差的计算十分重要。它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中，不少人不论测量次数多少，均按贝塞尔公式计算。2.4 均方误差均方误差：一列真误差平方的平均值的平方根。均方误差的定义由下式表示：这是一组观测中任何一个单一观测值的均方误差。2.5 残差算术平均值与任一实际观测值之差称为该观测值的残差。2.6 标准差由于真误差是不知道的，所以我们只能使用可以确定的残差。但首先我们必须进一步明确一些定义，以便与统计学法则相一致。前面已经提到：式中，-任意一个残差 -相应的真误差 -平均误差均方误差（涉及真误差）与所谓标准差（涉及残差）并不完全相等。如果说一组观测中任何一个单一观测的均方误差是，则其标准差的定义是：有时也可以把的值表示为，而无需用，因为当无限增大时，二者之差是微不足道的。一旦观测值的数目达到10,15或者更多时，使用两式中的任何一个实际上都无害于事。这正好表明，为什么可以认为均方误差与标准差是具有相同意义而且是等量的。2.7 标准误差 我们经常希望知道算术平均值的不确定度究竟有多大。可以推想，一列观测值的算术平均值的不确定度总是比任何单一观测值的要小得多。实际上，这里虽未推导，但我们已知：一组观测值得算术平均值的均方误差等于单一观测值的均方误差除以观测值个数的平方根。我们称它为（算术平均值的）标准误差，而不叫作“标准差”。因此算术平均值的标准误差就等于单一观测值的标准差除以观测值个数的平方根。2.7中间误差=或然误差将各误差取绝对值，即：，从小到大排列居中者。若n为奇数，为居中的一个；若n为偶数，为居中两个的平均。为恒正值，有稳健性，可避免导常值影响。2.8平均偏差（平均误差）平均偏差是指单项测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。它是代表一组测量值中任意数值的偏差。所以平均偏差不计正负。平均偏差的公式：平均偏差表示多次测量的总体偏离程度，即：其中，表示平均偏差；表示单项测定结果；表示测量次数；表示次测量结果的平均值；表示单项测定结果与平均值的绝对偏差。例如：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45,37.20,37.50,37.30,37.25（%），