第一章部分习题及答案.doc

精品课【高等几何】第一章部分习题及答案 1.证明线段的中点是仿射不变性. 图2-3 证明 取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形ABC,如图2-3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使T(A)=A,T(B)=B,T(C)=C.设D为线段BC中点,则ADBC,且=,设T(D)=D,由T保留简比不变,即（BCD）=（BCD），于是=1，因此，D为线段BD中点，即线段中点是仿射不变性。2证明三角形的中线是仿射不变性。 图24 证明 设仿射变换T将ABC变为ABC，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D=T（D），E=T（E），F=T（F）分别是BC、CA、AB的中点，因此，AD、BE、CF是ABCR的三条中线，如图24，即三角形的中线是仿射不变性。3证明三角形的重心是仿射不变性。 证明 如图24所示，设G是ABC的重心，且G=T（G）。因为GAD，由性质2、1.2得GAD；又因为（AGD）=（AGD），即=同理 = G是ABC的重心，即三角形的重心是仿射不变性。4角的平分线是不是仿射不变量？ 答：不是。如图26所示。 图26 取等腰ABC（AB=AC）由平面仿射几何的基本定理，存在仿射变换T，使T（A）=A、T（B）=B、T（C）=C。设D为线段BC中点，则ADBC，且=，但在ABC中，否则，AB=AC，这与ABC为不等腰三角形矛盾。因此，角平分线不是仿射不变性。 5两直线垂直是不是仿身不变量？ 答：不是。在上题中，ADBC但AD不垂直于BC，这说明两直线垂直不是不变性。 6证明梯形在仿射对应下仍为梯形。 证明 如图27所示， 如图27 设在仿射对应下，梯形ABCD（ABCD，ADBC）功能四边形ABCD相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以ABCD,ADBC,故ABCD为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。7给定点A、B，作出点C使：（1）(ABC)=4 (2)(ABC)=- (3)(ABC)=-1解 (1)(ABC)= 即=3，故点C在AB延长线上，且BC=AB，如图28所示。 （2）（ABC）=-, =-,即=-。若线段AB七等分，点C在AB内部且距点A三等分点处，如图29所示 图29 （3）（ABC）=-1，即=-1， 点C为线段AB的中点如图210所示 图2108经过A（-3，2）和B（6，1）两点的直线被直线+3-6=0截于P，求简比（ABP）。解 设=，则点P的坐标为P（，），因为点P在直线x3y60上，所以有+3（）6=0 解得 1 所以（ABP）=-=-=-19.求仿射变换式使直线x2y10上的每个点都不变，且使点（1，-1）变为（-1，2）。解 设所求仿射变换为在已知直线x+2y-1=0上任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得 ， 由以上方程联立解得：2 ，=2 ,=-1 , =- ,=-2 ,= 故所求的仿射变换为： 10.应用仿射变换求椭圆的面积. 解 如图214所示, 图214 设在笛氏直角坐标系下，有椭圆，如果经过仿射变换 =0 则椭圆的对应图形便是圆椭圆内的三角形OAB中，O（0，0），A（，0），B（b,