一次函数典型应用题（共9页）.doc

中考中与不等式结合函数有关的经济类型题近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。例1 已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N种型号的时装套数为，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为元。（1）求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 解：由题意得： 解得：4044与的函数关系式为：，自变量的取值范围是：4044在函数中，随的增大而增大 当44时，所获利润最大，最大利润是：3820（元）例2 某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。（1）写出每月电话费（元）与通话次数之间的函数关系式；（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。解；（1）由题意得：与之间的函数关系式为：（2）当50时，由于60，所以20（元） 当100时，由于60，所以25.2（元）（3）27.820 60 解得：120（次）例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元。（1）设运输这批货物的总运费为（万元），用A型货厢的节数为（节），试写出与之间的函数关系式；（2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。（3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？解：（1）由题意得：与之间的函数关系式为：（2）由题意得： 解得：2830 是正整数 28或29或30 有三种运输方案：用A型货厢28节，B型货厢22节；用A型货厢29节，B型货厢21节；用A型货厢30节，B型货厢20节。（3）在函数中 随的增大而减小 当30时，总运费最小，此时31（万元） 方案的总运费最少，最少运费是31万元。例4 某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获总利润为（元），生产A种产品件，试写出与之间的函数关系式，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？解；（1）设需生产A种产品件，那么需生产B种产品件，由题意得： 解得：3032 是正整数 30或31或32有三种生产方案：生产A种产品30件，生产B种产品20件；生产A种产品31件，生产B种产品19件；生产A种产品32件，生产B种产品18件。（2）由题意得； 随的增大而减小 当30时，有最大值，最大值为： 45000（元） 答：与之间的函数关系式为：，（1）中方案获利最大，最大利润为45000元。例5 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度。本年计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（元）成反比例，又当0.65时，0.8。（1）求与之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？收益用电量（实际电价 成本价）解：（1）与反正比例 把0.65，0.8代入上式得：0.2 与之间的函数关系式为：（2）由题意得： 化简得： 即 0.5，0.6 0.550. 75 0.5不符题意，应舍去。 故0.6答：电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。例6 为加强公民的节水意识，某城市制定了以下用水收费标准：每户每月用水未超过7立方米时，每立方米收费1.0元并加收0.2元的城市污水处理费，超过7立方米的部分每立方米收费1.5元并加收0.4元的城市污水处理费，设某户每月用水量为（立方米），应交水费为（元）（1）分别写出用水未超过7立方米和多于7立方米时，与之间的函数关系式；（2）如果某单位共有用户50户，某月共交水费514.6元，且每户的用水量均未超过10立方米，求这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有多少户？解：（1）当07时，当7时， （2）当7时，需付水费：71.28.4（元）当10时，需付水费：71.21.9（107）14.1（元）设这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有户，则：化简得：解得： 答：该单位这个月用水未超过7立方米的用户最多可能有33户。例7 辽南素以“苹果之乡”著称，某乡组织20辆汽车装运三种苹果42吨到外地销售。按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。（1）设用辆车装运A种苹果，用辆车装运B种苹果，根据下表提供的信息求与之间的函数关系式，并求的取值范围；（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与的函数关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。苹果品种ABC每辆汽车运载量 （吨）2.22.12每吨苹果获利 （百元）685解：（1）由题意得：化简得：当0时，10110答：与之间的函数关系式为：；自变量的取值范围是：110的整数。 （2）由题意得：W W与之间的函数关系式为： W随的增大而减小 当2时，W有最大值，最大值为： 315.2（百元） 当2时，16，2 答：为了获得最大利润，应安排2辆车运输A种苹果，16辆车运输B种苹果，2辆车运输C种苹果。同学们，从以上几例的解答过程中，你学到了解决这类问题的基本思路和方法吗？确定函数解析式，求函数值确定自变量取值范围实际问题数学问题方案设计：利用不等式或不等式组及题意方案决策： 最优方案：利用一次函数的性质及自变量取值范围确定最优方案解决问题小结：次函数应用题例析一次函数是初中数学中的重点内容之一，设计一次函数模型解决实际问题，备受各地命题者的青睐.本文采撷几例中考试题加以评析，供参考.一、图象型例1 (2003年广西)在抗击“非典”中，某医药研究所开发了一种预防“非典”的药品.经试验这种药品的效果得知：当成人按规定剂量服用该药后1小时时，血液中含药量最高，达到每毫升5微克，接着逐步衰减，至8小时时血液中含药量为每毫升1.5微克.每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(小时)的变化如图所示.在成人按规定剂量服药后：(1)分别求出x1，x1时y与x之间的函数关系式；(2)如果每毫升血液中含药量为2微克或2微克以上，对预防“非典”是有效的，那么这个有效时间为多少小时？解析本题涉及的背景材料专业性很强，但只要读懂题意，用我们学过的函数知识是不难解答的.题目的主要信息是由函数图象给出的，图象是由两条线段组成的折线，可把它看成是两个一次函数图象的组合.(1)当x1时，设y=k1x.将(1，5)代入，得k1=5. y=5x. 当x1时，设y=k2x+b.以(1，5)，(8，1.5)代入，得， (2)以y=2代入y=5x，得； 以y=2代入，得x2=7. . 故这个有效时间为小时.注：题中图像是已知条件的重要组成部分，必须充分利用.二、预测型例2 (2002年辽宁省)随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少，下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势，试用你所学的函数知识解决下列问题：(1)求入学儿童人数y(人)与年份x(年)的函数关系式；(2)利用所求函数关系式，预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人？年份(x) 2000 2001 2002 入学儿童人数(y) 2520 2330 2140 解析建立反比例函数，一次函数或二次函数模型，考察哪一种函数能较好地描述该地区入学儿童人数的变化趋势，这就要讨论.若设(k0)，在三点(2000，2520)，(2001，2330)，(2002，2140)中任选一点确定k值后，易见另两点偏离曲线较远，故反比例函数不能较好地反映入学儿童人数的变化趋势，从而选用一次函数.(1)设y=kx+b (k0)，将(2000，2520)、(2001，2330)代入，得故y=-190x+382520.又因为y=-190x+382520过点(2002，2140)，所以y=-190x+382520能较好地描述这一变化趋势.所求函数关系式为y=-190x+382520.(2)设x年时，入学儿童人数为1000人，由题意得-190x+382520=1000.解得x=2008.所以，从2008年起入学儿童人数不超过1000人.注：从数学的角度去分析，能使我们作出的预测更准确.本题也可构造二次函数模型来描述这一变化趋势.三、决策型例3 (2003年甘肃省)某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为1万元，其原材料成本价(含设备损耗等)为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产生.为达到国家环保要求，需要对废渣进行脱硫、脱氮等处理.现有两种方案可供选择.方案一：由工厂对废渣直接进行处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元.方案二：工厂将废渣集中到废渣处理厂统一处理.每处理1吨废渣需付0.1万元的处理费.(1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y万元，分别求出用方案一和方案二处理废渣时，y与x之间的函数关系式(利润=总收入-总支出)；(2)如果你作为工厂负责人，那么如何根据月生产量选择处理方案，既可达到环保要求又最合算.解析先建立两种方案中的函数关系式，然后根据月生产量的多少通过分类讨论求解.(1)y1=x-0.55x-0.05x-20 =0.4x-20； y2=x-0.55x-0.1x=0.35x.(2)若y1y2，则0.4x-200.35x，解得x400； 若y1=y2，则0.4x-20=0.35x，解得x=400； 若y1y2，则0.4x-200.35x，解得x400. 故当月生产量大于400件时，选择方案一所获利润较大；当月生产量等于400件时，两种方案利润一样；当月生产量小于400件时，选择方案二所获利润较大.注：在处理生产实践和市场经济中的一些问题时，用数学的眼光来分辨，会使我们作出的决策更合理.四、最值型例4 (2003年江苏省扬州市)杨嫂在再就业中心的支持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息.买进每份0.2元，卖出每份0.3元；一个月(以30天计)内，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份.一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每份0.1元退回给报社.(1)填表：一个月内每天买进该种晚报的份数 100 150 当月利润(单位：元) (2)设每天从报社买进这种晚报x份(120x200)时，月利润为y元，试求y与x之间的函数关系式，并求月利润的最大值.解析(1)由题意，当一个月每天买进100份时，可以全部卖出，当月利润为300元；当一个月内每天买进150份时，有20天可以全部卖完，其余10天每天可卖出120份，剩下30份退回报社，计算得当月利润为390元.(2)由题意知，当120x200时，全部卖出的20天可获利润：20(0.3-0.2)x=2x(元)；其余10天每天卖出120份，剩下(x-120)份退回报社，10天可获利润：10(0.3-0.2)120-0.1(x-120)=-x+240(元).月利润为y=2x-x+240 =x+240(120x200).由一次函数的性质知，当x=200时，y有最大值，为y=200+240=440(元).注：对于一次函数y=kx+b，当自变量x在某个范围内取值时，函数值y可取最大(或最小)值，这种最值问题往往用来解决“成本最省”、“利润最大”等方面的问题.五、学科结合型例5 (2002年南京市)声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称音速)是气温x()的一次函数.下表列出了一组不同气温时的音速：气温x() 0 5 10 15 20 音速y(m/S) 331 334 337 340 343 (1)求y与x之间的函数关系式；(2)气温x=22()时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？解析(1)设y=kx+b，任取表中的两对数，用待定系数法即可求得(2)当x=22时，334.25=1671(m).故此人与燃放的烟花所在地约相距1671m.注：本题考查了物理中声音的速度与温度的函数关系，是物理与数学结合的一道好题.1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30那么它所对