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设 则 第二节不定积分的换元积分法一 第一类换元法 第一类换元公式 凑微分法 说明 使用此公式的关键在于将 化为 观察重点不同 所得结论形式不同 定理1 例1求 解 一 解 二 解 三 例2 求 解 令 则 故 原式 注 当 时 注意换回原变量 一般地 例3 求 解 令 则 想到公式 例4 求 想到 解 直接配元 例5 求 解 类似 例6 求 解 原式 常用的几种配元形式 万能凑幂法 例7 求 解 原式 例8 求 解 原式 例9 求 解 原式 例10 求 解法1 解法2 两法结果一样 例11 求 解法1 解法2 同样可证 或 解法1 解法2 例12求 解 例13求 解 例14求 解 例15求 原式 例16 求 解 原式 例17求 解 例18 求 解 例19求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 例20求 解 解 例21设求 令 例22求 解 例23 求 解 原式 分析 例24 求 解 原式 思考与练习 1 下列各题求积方法有何不同 2 求 提示 法1 法2 法3 问题 解决方法 令 二 第二类换元法 设为的原函数 则 难求 怎么办 定理2 设 是单调可导函数 且 具有原函数 证 令 则 则有换元公式 例1 求 解 令 则 原式 例2求 解 令 例3求 解 令 例4 求 解 令 则 原式 令 于是 说明 1 以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 说明 2 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换 也可以化掉根式 例中 令 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换 或双曲代换 并不是绝对的 需根据被积函数的情况来定 说明 3 三角代换很繁琐 令 解 例6求 解 令 说明 4 当分母的阶较高时 可采用倒代换 令 解 法二 例8求 解 令 分母的阶较高 原式 例9 求 解 令 则 原式 当x 0时 类似可得同样结果 例10求 解 令 基本积分表 2 解 原式 例11 求 例12 求 解 例13 求 解 原式 例14 求 解 原式 例15 已知 求 解 两边求导 得 则 代回原变量 三 小结 两类积分换元法 一 凑微分 二 三角代换 倒代换 根式代换 基本积分表 2 思考题 求积分 思考题解答 备用题1 求下列积分 2 求不定积
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