大学高数之微积分.doc

大学高数论文 姓名： 专业 学号：自从入学以来数学就一直陪伴着我们，她无处不影响着我们，使我们变得更加睿智，更加理性，指引着智慧的方向，陪伴着我们走过学习和成长的各个阶段。数学是一门给人智慧，使人聪明的科学，在数学的世界中，我们可以探索以前所不知道的秘密，在这个过程中我们变的睿智，变的聪明。由于以前选择了文科，所以到了大学才接受了微积分的知识，也开始了对微积分的探索。现在可以说是略知一二了。一 微积分的历史发展微积分学是微分学和积分学的总称。 客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。 由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。微积分最重要的思想就是用微元与无限逼近,好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。 微积分的产生是数学上的伟大创造。它从生产技术和理论科学的需要中产生，又反过来广泛影响着生产技术和科学的发展。如今，微积分已是广大科学工作 者以及技术人员不可缺少的工具。 微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。早在古希腊时期，欧多克斯提出了穷竭法。这是微积分的先驱，而我国庄子的天下篇中也有 “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” 的极限思想，公元 263 年，刘徽为九间算术作注时提出了 “ 割圆术 ” ，用正多边形来逼近圆周。这是极限论思想的成功运用。 在微积分这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的分析在几何学上的应用一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 1827年，高斯发表了关于曲面的一般研究的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了埃尔朗根纲领，用变换群对已有的几何学进行了分类。在埃尔朗根纲领发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。微积分的现代发展 现代中在Riemann将Cauchy的积分含义扩展之后，Lebesgue又引进了测度的概念，进一步将Riemann积分的含义扩展。例如著名的Dirichilet函数在Riemann积分下不可积，而在Lebesgue积分下便可积。 我国的数学泰斗陈省身先生所研究的微分几何领域，便是利用微积分的理论来研究几何，这门学科对人类认识时间和空间的性质发挥的巨大的作用。并且这门学科至今仍然很活跃。前不久由我国数学家朱熹平、曹怀东完成最后封顶的庞加莱猜想便属于这一领域。 数学本身发展的需要和解决问题的需要，仅仅考虑欧式空间中的微积分是不够的。有必要把微积分的演出舞台从欧式空间进一步拓展到一般的微分流形。微积分的发展历史表明了人的认识是从生动的直观开始，进而达到抽象思维，也就是从感性认识到理性认识的过程。人类对客观世界的规律性的认识具有相对性，受到时代的局限。随着人类认识的深入，认识将一步一步地由低级到高级、由不全面到比较全面地发展。人类对自然的探索永远不会有终点。54 二 微积分的本源1 微积分使极限理论更加成熟 我们知道微积分的基础是极限论 ,而牛顿、莱布尼兹的极限观念是十分模糊的,牛顿的瞬和流数 ,莱布尼兹的 dx 和dy 究竟是什么含义 ? 在他们各自的著述中没有给出明确和一贯的定义 ,在运用时也显得前后不一。牛顿和莱布尼兹在使用无限小量时,有时视瞬或 dx 为无限小增量 ,而有 时视之为一个有限量加以运算 ,甚至把它作为零而忽略不计 ,这就在逻辑上造成明显的矛盾。牛顿曾用有限差值的 最初比和最终比一种萌芽状态的极限概念来说明流数的意义。但是当差值还未达到零时,其比值不是最终的,而 当差值达到零时,它们比是 0 。怎样理解这样的最终比,牛顿也承认自己的方法只作出“简略的说明,而不是正确的论证。”而莱布尼兹的微积分论文发表以后 ,连当时在数学上颇有造诣的数学家 象Bernoulli 兄弟 也颇感费解:“与其说有一种说明,还不如说是一个谜。”究竟极限是什么? 无穷小是什么? 在今天很容易理 解。但在十九世纪以前还是一个数学上本质性的难题。基极限思想在当时也散见于各个时代著作中,如中国庄子 天下篇中“一尺之棰”、Zeno 悖论、Endoxus 的“穷竭法”、刘微的“割圆术”等和极限思想有直接关系 ,但这些都只能说是对极限有些模糊认识而已。十八世纪 ,许多数学家为维护微积分的应用价值和美学价值 ,在回击来自数学界内外的攻击同时,竭尽所能使微积分在理论上严密化、逻辑化 ,在形式更趋完美。在十八世纪前期 ,许多数学家 ,尤其是英国数学家总是企图使微积分与欧几里得几何结合起来 ,他们试图借助于几何学中论证之严谨体系去完善微积分。但这一努力是失败的,打破这 一僵局的大数学家欧拉 ,他以代数方式研究微积分 ,力图用形式演算方式代替累赘的几何语言 ,使微积分建立在算术 和代数基础上。达朗贝尔把牛顿的“最终比”发展为一种极 限概念 ,并试图用极限加以定义和说明。他认为应以极限 理论作为微积分的理论基础 ,这一思想在数学界产生了极其深远的影响。直到 1821 年以后 ,柯西出版他的分析教 程、无穷小计算讲义、无穷小计算在几何中应用这几部具划时代意义的名著之后 ,微积分一系列基础概念及理正式明确地确定下来。自此以后 ,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和概念也建立较坚实的理论基础之上 极限理论。我们现在所谓的极限的柯西定义或 年之后半个世纪经过维尔斯特拉斯的加工才完成的。柯西把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算化为一系 列不等式的推导。维尔斯特拉斯将柯西的完成了现今的 - 方法 ,形成了微积分的严谨之美。 2微积分状态与过程的统一微积分是十七世纪数学所达到的最高成就。微积分出 现以后 ,逐渐显示出它非凡的威力 ,过去许多数学家束手无策的问题 ,至此迎刃而解。恩格斯指出:“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态 ,并且也表明过程:运动。” 然而 ,在十九世纪以前 ,微积分理论历史发展始终包含着矛盾:一方面纯粹分析及其应用领域中呈现出一个接一个的伟大发现与成就;另一方面则是基础理论的含糊性。事实上 ,无论是牛顿还是莱布尼兹 ,他们对微积分所作的论 证都是不很严谨的和不清楚的。 在欧洲大陆方面 ,莱布尼兹的含糊也招致了尼文Nieuwentijt ,荷兰哲学家 的反对。荷兰的物理学家和几何学家纽文B.Nieuwentydt 也就一系列问题公开提出质问:无限小量与零怎样区别 ? 无限个无限小量之和为什么能够是 有限量 ? 在推理过程中为什么能舍弃无限小量 ? 包括一大 批数学家也群起而攻之。尽管他们承认微积分的效用 ,欣赏微积分的美学价值 ,但却不能容忍这种方法的理论本身如此含糊甚至令人感到荒谬。法国数学家罗尔 M. Rolle微积分为:“巧妙的谬论的汇集。”法国思想家伏尔泰则说微积分是一种“精确的计算和度量其存在无从想象的东西的艺术”。贝克莱和尼文太对微积分的攻击纯粹是消极的,他们不能给微积分以严格的基础 ,但他们的论点都有一定道理 ,在一定程度上它激励了微积分进一步的建设性工作。例如突变函数论、非 线性泛函分析等学科的建立。因此 ,人们追求数学美 ,以达到精神上的愉悦 ,而这一点正是通过数学家经由数学的“神秘美”、“奇异美”和“朦胧美”,而最终达到 完备的“统一美”和“和谐美”。3微积分分析与几何的统一 微积分的本原问题是指它同现实世界的关系问题，即它是产生于存在还是产生于纯思维的问题。唯物主义与唯心主义有着根本不同的看法。唯心主义认为纯数学产生于纯思维。它可以先验地，不需利用外部世界给我们提供的经验，而从头脑中创造出来。杜林、康德、贝克莱等唯心主义者就是这种观点的代表。牛顿、莱布尼茨是微积分的创立者。他们分别在研究质点运动和曲线的性质中，不自觉地把客观世界中的运动问题引进了数学。各自独立地创立了微积分。这个功劳是应该肯定的。但是，他们没有很好注意到微积分同现实世界的亲缘关系。其运算出发点是先验的。所以，马克思把牛、莱的微积分称为“神秘的微分学”唯物主义认为，微积分同所有的科学一样，它起源经验，然后又脱离外部世界，具有高度抽象性和相对独立性的一门崭新的科学恩格斯指出：“数学是从人的需要中产生的”微积分是从生产斗争和科学实验的需要中产生的。生产实践对微积分的创立起着决定的作用。从十五世纪开始，资本主义在西欧封建社会内部逐渐形成。到十七世纪，资本主义生产方式有了巨大发展。随着生产发展，自然科学技术也雨后春笋般地发展起来了。它们跑出来向数学敲门，提出了大量研究新课题。微积分的创立就是为了处理十六、十七世纪在生产实践和科学实验中所遇到的一系列新问题。这些问题归纳起来大致分为四类：一是已知物体运动的路程与时间的函数关系，求速度和加速度；反过来，已知物体运动的速度和加速度与时间的函数关系，求路程。二是求曲线的切线。三是求函数的极大值、极小值。四是求曲线的弧长，求曲线所围成的面积，曲面所围成的体积等求积问题上述四类问题，形式各不相同，但有着共同的本质，即都是反映客观事物的矛盾运动过程。其中的量都在不断变化着。因此，研究常量的初等数学无法解决这些问题。生产和科研的需要，促使数学由研究常量向研究变量转化。于是微积分在传统代数学的长期孕育中，经解释几何这个“助产婆”的接生“而分娩了”。所以，恩格斯说：“数学的转折点是笛卡尔的变数。有了变数，运动进入了数学。有了变数，辩证法进入了数学。有了变数，微分学和积分学也就立刻成