南京航空航天大学《高等数学》2.8微分在近似计算中的应用.pdf

第八节 微分在近似计算中的应用第八节 微分在近似计算中的应用 计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值 计算函数的近似值计算函数的近似值 误差估计误差估计 一 计算函数增量的近似值一 计算函数增量的近似值 0 00 很小时 且处的导数在点若 很小时 且处的导数在点若 x xfxxfy 例1例1 05 0 10 问面积增大了多少厘米 半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径 问面积增大了多少厘米 半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径 解解 2 rA 设 设 05 0 10厘米厘米厘米厘米 rr rrdA 205 0102 2 厘米厘米 0 xxf 00 xxxx dyy 二 计算函数的近似值二 计算函数的近似值 1 0附近的近似值 在点求附近的近似值在点求xxxf 00 xfxxfy 0 xxf 000 xxfxfxxf 很小时很小时x 例1例1 0360cos o 的近似值计算的近似值计算 解解 cos xxf 设设 sin 为弧度为弧度xxxf 360 3 0 xx 2 3 3 2 1 3 ff 3603 cos 0360cos o 3603 sin 3 cos 3602 3 2 1 4924 0 0 2附近的近似值在点求附近的近似值在点求 xxf 0 0 xffxf 000 xxfxfxxf 0 0 xxx 令 令 常用近似公式常用近似公式 很小时很小时x 1ln 5 1 4 tan 3 sin 2 1 11 1 xx xexxx xxxx n x x n 为弧度 为弧度 为弧度 为弧度 证明证明 1 1 n xxf 设设 1 1 1 1 n x n xf 1 0 1 0 n ff xffxf 0 0 1 n x 例2例2 计算下列各数的近似值计算下列各数的近似值 解解 2 5 998 1 03 0 3 e 33 5 110005 998 1 3 1000 5 1 1 1000 3 0015 0110 0015 0 3 1 1 10 995 9 03 01 2 03 0 e 97 0 三 误差估计三 误差估计 由于测量仪器的精度 测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响 测得的数据往往带有误差 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差 我们把它叫做 由于测量仪器的精度 测量的条件和测量的方法 等各种因素的影响 测得的数据往往带有误差 而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误 差 我们把它叫做间接测量误差间接测量误差 定义 定义 的绝对误差叫做那末为 它的近似值如果某个量的精度值为 的绝对误差叫做那末为 它的近似值如果某个量的精度值为 aaAa A 的相对误差叫做的比值而绝对误差与的相对误差叫做的比值而绝对误差与a a aA a 问题问题 在实际工作中在实际工作中 绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得 办法 将误差确定在某一个范围内 办法 将误差确定在某一个范围内 的相对误差限 叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末 即又知道它的误差不超过 测得它的近似值是如果某个量的精度值是 的相对误差限 叫做测量而的绝对误差限叫做测量那末 即又知道它的误差不超过 测得它的近似值是如果某个量的精度值是 A a A aA aA A A A A 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差 绝对误 差与相对误差 例3例3 005 041 2 误差并估计绝对误差与相对 求出它的面积米正方形边长为 误差并估计绝对误差与相对 求出它的面积米正方形边长为 解解则面积为设正方形边长为则面积为设正方形边长为 yx 2 xy 41 2时当 时当 x 8081 5 41 2 22 my 41 241 2 2 xx xy 82 4 005 0 x 边长的绝对误差为边长的绝对误差为 005 082 4 y 面积的绝对误差为面积的绝对误差为 0241 0 2 m y y 面积的相对误差为面积的相对误差为 8081 5 0241 0 4 0 四 小结四 小结 近似计算的基本公式近似计算的基本公式 0 0 xffxf 00 xxxx dyy 0 xxf 000 xxxfxfxf 很小时当很小时当 x 0时当 时当 x 1 设1 设0 A 且 且 n AB 证明 证明 1 n nn nA B ABA 并计算 并计算101000的近似值 2 已知测量球的直径 的近似值 2 已知测量球的直径D有 1 的相对误差 问用公式 有 1 的相对误差 问用公式 3 6 DV 计算球的体积时 相对误差有多大 计算球的体积时 相对误差有多大 思考思考 1 111x n x n 1 1 1 n n n nn A B n A A B ABA 2 测量球的直径2 测量球的直径D的绝对误差 的绝对误差 D D D D