同济大学线性代数课后答案 第三章.pdf

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1 把下列矩阵化为行最简形矩阵 1 3403 1302 1201 解 下一步 r2 2 r1 r3 3 r1 3403 1302 1201 下一步 r2 1 r3 2 0200 3100 1201 下一步 r3 r2 0100 3100 1201 下一步 r3 3 3000 3100 1201 下一步 r2 3r3 1000 3100 1201 下一步 r1 2 r2 r1 r3 1000 0100 1201 1000 0100 0001 2 1740 3430 1320 解 下一步 r2 2 3 r1 r3 2 r1 1740 3430 1320 下一步 r3 r2 r1 3r2 3100 3100 1320 下一步 r1 2 0000 3100 10020 0000 3100 5010 3 12433 02322 14533 34311 解 下一步 r2 3r1 r3 2r1 r4 3r1 12433 02322 14533 34311 下一步 r2 4 r3 3 r4 5 1010500 66300 88400 34311 下一步 r1 3r2 r3 r2 r4 r2 22100 22100 22100 34311 00000 00000 22100 32011 4 34732 03823 42021 73132 解 下一步 r1 2r2 r3 3r2 r4 2r2 34732 03823 42021 73132 下一步 r2 2r1 r3 8r1 r4 7r1 118770 129880 42021 11110 下一步 r1 r2 r2 1 r4 r3 41000 41000 20201 11110 下一步 r2 r3 00000 41000 11110 20201 00000 41000 30110 20201 2 设 求A 987 654 321 100 010 101 100 001 010 A 解是初等矩阵E 1 2 其逆矩阵就是其本身 100 001 010 是初等矩阵E 1 2 1 其逆矩阵是 100 010 101 E 1 2 1 100 010 101 100 010 101 987 654 321 100 001 010 A 287 221 254 100 010 101 987 321 654 3 试利用矩阵的初等变换 求下列方阵的逆矩阵 1 323 513 123 解 100 010 001 323 513 123 101 011 001 200 410 123 101200 211010 2 102 3023 2 102 1100 211010 2 922 7003 2 102 1100 211010 2 33 26 7001 故逆矩阵为 2 1 0 2 1 211 2 3 3 2 6 7 2 1210 2321 1220 1023 解 1000 0100 0010 0001 1210 2321 1220 1023 0010 0301 1000 0100 1220 5940 1210 2321 2010 4301 1000 0100 1200 1100 1210 2321 10612 4301 1000 0100 1000 1100 1210 2321 10612 6311 10 10 2211 1000 0100 0010 0021 10612 6311 1010 4211 1000 0100 0010 0001 故逆矩阵为 10612 6311 1010 4211 4 1 设 求X使AX B 113 122 214 A 13 22 31 B 解因为 13 22 31 113 122 214 BA 412 315 210 100 010 001 r 所以 412 315 210 1B AX 2 设 求X使XA B 433 312 120 A 132 321 B 解考虑ATXT BT 因为 13431 32312 21320 TT BA 41100 71010 42001 r 所以 41 71 42 1TTT BAX 从而 474 112 1 BAX 5 设 AX 2X A 求X 101 110 011 A 解原方程化为 A 2E X A 因为 101101 110110 011011 2 AEA 011100 101010 110001 所以 011 101 110 2 1A EAX 6 在秩是r的矩阵中 有没有等于0的r 1阶子式 有没有 等于 0 的r阶子式 解在秩是r的矩阵中 可能存在等于 0 的r 1 阶子式 也 可能存在等于 0 的r阶子式 例如 R A 3 0100 0010 0001 A 是等于 0 的 2 阶子式 是等于 0 的 3 阶子式 00 00 010 001 000 7 从矩阵A中划去一行得到矩阵B 问A B的秩的关系怎 样 解R A R B 这是因为B的非零子式必是A的非零子式 故A的秩不会 小于B的秩 8 求作一个秩是 4 的方阵 它的两个行向量是 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 解用已知向量容易构成一个有 4 个非零行的 5 阶下三角 矩阵 00000 01000 00101 00011 00001 此矩阵的秩为 4 其第 2 行和第 3 行是已知向量 9 求下列矩阵的秩 并求一个最高阶非零子式 1 4431 1211 2013 解 下一步 r1 r2 4431 1211 2013 下一步 r2 3r1 r3 r1 4431 2013 1211 下一步 r3 r2 5640 5640 1211 0000 5640 1211 矩阵的 是一个最高阶非零子式 2秩为4 11 13 2 81507 31312 13123 解 下一步 r1 r2 r2 2r1 r3 7r1 81507 31312 23123 下一步 r3 3r2 152733210 591170 14431 00000 591170 14431 矩阵的秩是 2 是一个最高阶非零子式 7 7 7 7 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 02301 08523 57032 73812 解 下一步 r1 2r4 r2 2r4 r3 3r4 02301 08523 57032 73812 下一步 r2 3r1 r3 2r1 02301 02420 53630 71210 下一步 r2 16r4 r3 16r2 02301 140000 160000 71210 02301 00000 10000 71210 00000 10000 71210 02301 矩阵的秩为 3 是一个最高阶非零子式 070 023 085 570 10 设A B都是m n矩阵 证明A B的充分必要条件是 R A R B 证明根据定理 3 必要性是成立的 充分性 设R A R B 则A与B的标准形是相同的 设A 与B的标准形为D 则有 A D D B 由等价关系的传递性 有A B 11 设 问k为何值 可使 32 321 321 k k k A 1 R A 1 2 R A 2 3 R A 3 解 32 321 321 k k k A 2 1 00 110 11 kk kk k r 1 当k 1 时 R A 1 2 当k 2 且k 1 时 R A 2 3 当k 1 且k 2 时 R A 3 12 求解下列齐次线性方程组 1 0222 02 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 2122 1112 1211 3 4100 1310 0101 于是 44 43 42 41 3 4 3 3 4 xx xx xx xx 故方程组的解为 k为任意常数 1 3 4 3 3 4 4 3 2 1 k x x x x 2 05105 0363 02 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 51105 3163 1121 0000 0100 1021 于是 44 3 22 421 0 2 xx x xx xxx 故方程组的解为 k1 k2为任意常数 1 0 0 1 0 0 1 2 21 4 3 2 1 kk x x x x 3 0742 0634 0723 0532 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 7421 6314 7213 5132 1000 0100 0010 0001 于是 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 故方程组的解为 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x x 4 0327 01613114 02332 07543 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 解对系数矩阵A进行初等行变换 有 A 3127 1613114 2332 7543 0000 0000 17 20 17 19 10 17 13 17 3 01 于是 44 33 432 431 17 20 17 19 17 13 17 3 xx xx xxx xxx 故方程组的解为 k1 k2为任意常数 1 0 17 20 17 13 0 1 17 19 17 3 21 4 3 2 1 kk x x x x 13 求解下列非齐次线性方程组 1 8311 10213 224 21 321 321 xx xxx xxx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 80311 10213 2124 6000 3411100 8331 于是R A 2 而R B 3 故方程组无解 2 694 13283 542 432 zyx zyx zyx zyx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 6914 13283 5421 4132 0000 0000 2110 1201 于是 zz zy zx 2 12 即 k为任意常数 0 2 1 1 1 2 k z y x 3 12 2224 12 wzyx wzyx wzyx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 11112 21224 11112 00000 01000 2 102 12 11 于是 0 2 1 2 1 2 1 w zz yy zyx 即 k1 k2为任意常数 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 0 1 2 1 21 kk w z y x 4 2534 4323 12 wzyx wzyx wzyx 解对增广矩阵B进行初等行变换 有 B 25341 43123 11112 00000 7 57 97 510 7 67 17 101 于是 ww zz wzy wzx 7 5 7 9 7 5 7 6 7 1 7 1 即 k1 k2为任意常数 0 0 7 5 7 6 1 0 7 9 7 1 0 1 7 5 7 1 21 kk w z y x 14 写出一个以 1 0 4 2 0 1 3 2 21 ccx x x x 为通解的齐次线性方程组 解根据已知 可得 1 0 4 2 0 1 3 2 21 4 3 2 1 cc x x x x 与此等价地可以写成 24 13 212 211 43 2 cx cx ccx ccx 或 432 431 43 2 xxx xxx 或 043 02 432 431 xxx xxx 这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组 15 取何值时 非齐次线性方程组 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多个解 解 2 11 11 111 B 2 2 1 1 2 1 00 1 110 11 r 1 要使方程组有唯一解 必须R A 3 因此当 1 且 2 时方程组有唯一解 2 要使方程组无解 必须R A R B 故 1 2 0 1 1 2 0 因此 2 时 方程组无解 3 要使方程组有有无穷多个解 必须R A R B 3 故 1 2 0 1 1 2 0 因此当 1 时 方程组有无穷多个解 16 非齐次线性方程组 2 321 321 321 2 2 22 xxx xxx xxx 当 取何值时有解 并求出它的解 解 2 211 121 2112 B 2 1 000 1 3 2 110 121 要使方程组有解 必须 1 2 0 即 1 2 当 1 时 1211 1121 2112 B 0000 0110 1101 方程组解为 或 32 31 1 xx xx 33 32 31 1 xx xx xx 即 k为任意常数 0 0 1 1 1 1 3 2 1 k x x x 当 2 时 4211 2121 2112 B 0000 2110 2101 方程组解为 或 2 2 32 31 xx xx 33 32 31 2 2 xx xx xx 即 k为任意常数 0 2 2 1 1 1 3 2 1 k x x x 17 设 1 5 42 24 5 2 122 2 321 321 321 xxx xxx xxx 问 为何值时 此方程组有唯一解 无解或有无穷多解 并在有 无穷多解时求解 解B 1542 2452 1222 4 1 10 1 00 1110 2452 要使方程组有唯一解 必须R A R B 3 即必须 1 10 0 所以当 1 且 10 时 方程组有唯一解 要使方程组无解 必须R A R B 即必须 1 10 0 且 1 4 0 所以当 10 时 方程组无解 要使方程组有无穷多解 必须R A R B 3 即必须 1 10 0 且 1 4 0 所以当 1 时 方程组有无穷多解 此时 增广矩阵为 B 0000 0000 1221 方程组的解为 33 22 321 1 xx xx xxx 或 k1 k2为任意常数 0 0 1 1 0 2 0 1 2 21 3 2 1 kk x x x 18 证明R A 1 的充分必要条件是存在非零列向量a a a a及非 零行向量b b b bT 使A ab