名校真题：淮阴中学2014-2015高二上学期第一次月考(数学).pdf

王老师 名校起点工作室 第 1 页 AB C D B1 A1 D1 C1 江苏省淮阴中学 2014 2015 高二上学期阶段性测试 高二数学2014 10 一 填空题 70 分 1 直线0233 yx的倾斜角是 2 对于命题 p 0 x 使得02 2 xx 则p 为 3 抛物线 2 xy 的焦点坐标为 4 若双曲线 22 1 4 xy b b 0 的渐近线方程为 y 1 2x 则 b 等于 5 圆 22 1xy 和圆 22 4 25xya 外切 则常数a的值为 6 已知在正三棱锥PABC 中 侧棱与底面边长相等 D E F分别是 AB BC CA的中点 有下列四个结论 BC平面PDF DF 平面PAE 平面PDF 平面ABC 平面PAE 平面ABC 其中正确的结论有 7 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 二面角BACB 1 的正切值 为 8 已知 p x x 一 4 x a 4 q x x x 一 2 3 一 x 0 若 p 是 q 的充分条件 则实数 a 的取值范围为 9 已知直线yxk 与曲线 2 1xy 有且仅有一个公共点 则实数k的取值范围为 10 点P是方程6 5 5 2222 yxyx所表示的曲线上的点 若点P的纵坐标 是4 则其横坐标为 11 正三棱锥SABC 中 30 1 ASBSACABCAB 过点A作一截面与侧 棱 SB SC分别交于点 E F 则截面AEF 周长的最小值为 12 设CBAP 是球O表面上的四个点 PCPBPA 两两垂直 且1PA 2PB 3PC 则球O的表面积为 13 椭圆 22 22 1 xy ab ab 0的左焦点为 F 直线mx 与椭圆相交于 A B 两点 当FAB 的周长最大时 FAB 的面积为ab 若 b 1 则椭圆的准线方程是 14 已知直线1 xy与椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 相交于BA 两点 且OBOA O 为坐标原点 若椭圆的离心率 2 2 2 1 e 则a的最大值为 王老师 名校起点工作室 第 2 页 二 解答题 90 分 15 已知0 c 设 p函数 x cy 在R上单调递减 q不等式0 2 1 2 cxx的解集为R 若p或q为真 p且q为假 求实数c的取值范围 16 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F分别是 11 AB AC的 中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBCC C1 B1 A1 D F E C B A 王老师 名校起点工作室 第 3 页 17 如图 直角三角形 ABC 的顶点坐标 A 2 0 直角顶点 B 0 2 2 顶点 C 在 x 轴 上 点 P 为线段 OA 的中点 1 求 BC 边所在直线方程 2 求三角形 ABC 外接圆的方程 3 若动圆 N 过点 P 且与三角形 ABC 外接圆内切 求动圆 N 的圆心 N 的轨迹方程 18 如图 平面四边形ABCD中 ABBCCDa 90 B 135BCD 沿对 角线AC将ABC 折起 使平面ABC与平面ACD互相垂直 1 求证 ABCD 2 在BD上是否存在一点P 使 CP平面ABD 证明你的结论 3 求点C到平面ABD的距离 A B OCx y P D C B A B D C A 王老师 名校起点工作室 第 4 页 19 如图 某隧道设计为双向四车道 车道总宽为78m 要求通行车辆限高 4 5m 隧道全 长为 2 5km 隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状 1 若最大拱高h为 6m 则隧道设计的拱宽l是多少 2 若最大拱高h不小于 6m 则应如何设计拱高h和拱宽l 才能使隧道的土方工程量 最小 注 1 半个椭圆的面积公式为lhS 4 2 隧道的土方工程量 截面面积 隧道长 20 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系中 已 知 椭 圆经 过 点 椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 2 过点作两直线与椭圆分别交于相异两点 若的平分线与轴平 行 试探究直线的斜率是否为定值 若是 请给予证明 若不是 请说明理由 王老师 名校起点工作室 第 5 页 参考答案 一 填空题 1 6 2 2 0 20 xxx 3 1 0 4 4 1 5 2 5 6 7 2 8 16a 9 1 12 10 3 2 11 2 12 14 13 2x 14 6 2 二 解答题 15 已知0 c 设 p函数 x cy 在R上单调递减 q不等式0 2 1 2 cxx的解集为R 若p或q为真 p且q为假 求实数c的取值范围 解 若p为真 则10 c 若q为真 则 2 1 c 因为p或q为真 p且q为假 所以p q一真一假 因此 1 2 1 0 c 16 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F分别是 11 AB AC的中点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBCC 证明 1 E F 分别是 11 AB AC的中点 EFBC 又EFABC 平面 BCABC 平面 EFABC 平面 2 直三棱柱 111 ABCABC 1111 BBABC 平面 又 1111 ADABC 平面 11 BBAD 又 11 ADBC 111 BCBBB 111 BCBBC C 平面 111 BBBBC C 平面 111 ADBBC C 平面 又 11 ADAFD 平面 111 AFDBBC C 平面平面 17 如图 直角三角形 ABC 的顶点坐标 A 2 0 直角顶点 B 0 2 2 顶点 C 在 x 轴 上 点 P 为线段 OA 的中点 1 求 BC 边所在直线方程 2 求三角形 ABC 外接圆的方程 3 若动圆 N 过点 P 且与三角形 ABC 外接圆内切 求动圆 N 的圆 心 N 的轨迹方程 解 1 kAB 2 AB BC kCB 2 2 直线 BC 方程为 y 2 2 x 2 2 2 直线 BC 与 x 轴交于 C 令 y 0 得 C 4 0 A B OC x y P C1 B1 A1 D F E C B A 王老师 名校起点工作室 第 6 页 圆心 M 1 0 又 AM 3 外接圆的方程为 22 1 9xy 3 P 1 0 M 1 0 圆 N 过点 P 1 0 PN 是该圆的半径 又 动圆 N 与圆 M 内切 MN 3 PN 即 MN PN 3 点 N 的轨迹是以 M P 为焦点 长轴长为 3 的椭圆 a 3 2 c 1 b 2 a2 c2 5 4 轨迹方程为 22 1 95 44 xy 18 如图 平面四边形ABCD中 ABBCCDa 90 B 135BCD 沿对 角线AC将ABC 折起 使平面ABC与平面ACD互相垂直 1 求证 ABCD 2 在BD上是否存在一点P 使 CP平面ABD 证明你的结论 3 求点C到平面ABD的距离 1 证明 AB BC 90 B即ABBC 90 ACD即ACCD 又 平面 ABC 平面 ACD 平面 ABC 平面 ACD AC CD 平面 ACD ABCCD平面 ABCAB平面 ABCD 2 存在 P 为 BD 中点 证明 BC CD BDCP 由 1 知 ABCD 又 BCAB BCDCD BCDBC CCDBC 平面 平面 AB 平面 BCD 又 BCDCP平面 CPAB ABDBDABDABBBDAB平面平面 CP平面 ABD 3 由 1 知 ABCCD平面 又BCABC 平面 D C B A B D C A 王老师 名校起点工作室 第 7 页 CDBC 又 BC CD a P 为 BD 中点 2 2 CPa 由 2 知 CP平面 ABD 点 C 到平面 ABD 的距离即CP的长 为 2 2 a 证法二 证法二 AB 平面 BCD BCDBD平面 BDAB aABADBD2 22 2 2 2 2 1 aBDABS ABD ABCCD平面 3 6 1 3 1 aSCDV ABCABCD 设点 C 到平面 ABD 的距离为h 则 2 6 2 3 1 aShV ABDABDC 所以ah 2 2 19 如图 某隧道设计为双向四车道 车道总宽为78m 要求通行车辆限高 4 5m 隧道全 长为 2 5km 隧道的拱线可近似的看成半个椭圆形状 1 若最大拱高h为 6m 则隧道设计的拱宽l是多少 2 若最大拱高h不小于 6m 则应如何设计拱高h和拱宽l 才能使隧道的土方工程量最 小 注 1 半个椭圆的面积公式为lhS 4 2 隧道的土方工程量 截面面积 隧道长 解 1 以车道中点为原点 建立直角坐标系 则 P 74 4 5 设椭圆的方程为1 2 2 2 2 b y a x 则 1 5 4 74 6 2 2 2 2 ba b 解之得 6 16 b a 此时322 al 2 由1 5 4 74 2 2 2 2 ba 可知 abba 5 47425 4 74 1 2 2 2 2 故736 ab 所以 718 24 ablhS 当且仅当6 2 29 148 hl时取等 答 当拱高为 2 2 9 拱宽为148时 土方工程量最小 20 如 图 在 平 面 直 角 坐 标 系中 已 知 椭 圆经 过 点 王老师 名校起点工作室 第 8 页 椭圆的离心率 分别是椭圆的左 右焦点 1 求椭圆的方程 2 过点作两直线与椭圆分别交于相异两点 若的平分线与轴平 行 试探究直线的斜率是否为定值 若是 请给予证明 若不是 请说明理由 解 1 由 3 22 e 得 22 9ba 故椭圆方程为1 9 2 2 2 2 b y b x 又椭圆过点 2 23 M 则1 2 9 18 22 bb 解之得 4 2 b 因此椭圆方程为1 436 22 yx 2 设直线MA的斜率为k 2211 yxByxA 由题 直线 MA 与 MB 的斜率互为相反数 直线 MB 的斜率为 k 联立直线 MA 与椭圆方程 1 436 232 22 yx kkxy 整 理 得018108162 31 218 19 222