《点集拓扑学》第7章 §7.1 紧致空间.doc

第7章紧致性7.1紧致空间本节重点：掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法（这些方法哪些是充要条件）；掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的在5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间读者在数学分析中早已见过的HeineBorel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖（在7.3中我们将要推广这个定理）因此我们现在作的事也应当在意料之中定义7.1.1设X是一个拓扑空间如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间例7.1.1实数空间R不是一个紧致空间这是因为如果我们设A（n，n）R|bZ+,则A的任何一个有限子族 ,由于它的并为(-max,max)所以不是R的一个子覆盖因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖定义7.1.2设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖所以陈述以下定理是必要的定理7.1.1设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）证明必要性设Y是拓扑空间X中的一个紧致子集,A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成则容易验证集族A也是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成因此A有一个有限子覆盖，设为,于是A的有限子族覆盖Y充分性，假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖设A是Y的一个覆盖，它由Y中的开集构成则对于每一个AA存在X中的一个开集使得A=Y因此A是由X中的开集构成的Y的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为此时易见A的子族覆盖Y这证明Y是X的一个紧致子集下面介绍关于紧致性的一个等价说法定义7.1.3设A是一个集族如果A的每一个有限子族都有非空的交（即如果是A的一个有限子族，则），则称A是一个具有有限交性质的集族定理7.1.2设X是一个拓扑空间则X是一个紧致空间当且仅当X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交证明:设X是一个紧致空间用反证法设F是X中的一个具有有限交性质的闭集族设F如果，则令A=F由于 所以A是X的一个开覆盖于是A有一个有限子覆盖，设为从而这说明F 不具有有限交性质矛盾“”，设X中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交为证明X是一个紧致空间，设A是X的一个开覆盖我们需要证明A有一个有限子覆盖如果A=，则，这蕴涵X=以及A的每一个子族都是X的覆盖以下假定A此时F=|AA便是X中的一个非空闭集族，并且 因此，它不具有有限交性质也就是说，它有一个有限子族其交为空集设F的这个有限子族为，则是X的一个有限子覆盖如果B是紧致空间X的一个基，那么由B中的元素构成的X的一个覆盖当然是一个开覆盖，因此有有限子覆盖下述定理指出，为验证拓扑空间的紧致性，只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖定理7.1.3设B*是拓扑空间X的一个基，并且X的由B*中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖则X是一个紧致空间证明A* 设是X的一个开覆盖对于每一个AA*存在B*的一个子族使得令 由于 故是一个由B*的元素构成的X的一个覆盖，所以有一个有限子覆盖，设为 ,对于每一个，i=1,2,，n，于是对于A*的有限于族有也就是说A*有一个有限子覆盖 这证明X是一个紧致空间定理7.1.4设X和Y是两个拓扑空间，f:XY是一个连续映射如果A是X的一个紧致子集，则f（A）是Y的一个紧致子集证明设C*是f（A）的一个覆盖，它由Y中的开集组成对于每一个CC*，由于f是一个连续映射，（C）是X中的一个开集所以A(C)|CC*是A的一个开覆盖由于A是X的一个紧致子集，所以A有一个有限子族，设为，覆盖A即是C*的一个子族并且覆盖f（A）这证明f（A）是Y的一个紧致子集由上述定理可见，拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质，因此是拓扑不变性质，也是一个可商性质由此可见，由于实数空间R不是紧致空间，而每一个开区间都是与它同胚的，所以每一个开区间（作为子空间）都不是紧致空间定理7.1.5紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集证明设Y是紧致空间X中的一个闭子集如果A是Y的一个覆盖，它由X中的开集构成则 是X的一个开覆盖设B1是B的一个有限子族并且覆盖X则B1- 便是A的一个有限子族并且覆盖Y这证明Y是X的一个紧致子集 定理7.1.6每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间证明:设(X,T)是一个拓扑空间令为任何一个不属于X的元素令X*=XT*=TX*其中=EX*|X*-E是拓扑空间(X,T)中的一个紧致闭集首先验证T*是集合X*的一个拓扑(略)其次证明(X*,T*)是一个紧致空间:设C*是X*的一个开覆盖则存在CC*使得C于是C,因此X*-C是紧致的,并且C*-C是它的一个开覆盖于是C*-C有一个有限子族,设为C1,覆盖X*-C易见C1C是C*的一个有限子族,并且覆盖X*最后,我们指出拓扑空间(X,T)是拓扑空间(X*,T*)的一个开子空间这是因为T =及X是X*的一个开集在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T)构造出来的紧致空间(X*,T*),通常称为拓扑空间(