高等数学概念定理推论公式.doc

高等数学概念、定理、推论、公式 函数及图形和的绝对值不大于各项绝对值的和；差的绝对值不小于各项绝对值的差；乘积的绝对值等于各项绝对值的乘积；商的绝对值等于被除数及除数的绝对值的商。若自变量x在定义域X内每取得一确定值时，函数只有一个确定值与之对应，这种函数叫单值函数；否则就是多值函数。若函数y=f(x)当x改变符号时函数值也只改变符号，即F(-x)=-f(x)，此函数叫奇函数，奇函数对称于原点；若x改变符号，函数值不变，即f(-x)=f(x)，即为偶函数，偶函数对称于y轴。反函数的图形与直接函数(原函数)的图形对称于直线y=x 数列的极限及函数的极限如果数列收敛，一定是有界的；有界的数列不一定都是收敛的；无界数列一定是发散的。如果，而且A0(或A0(或f(x)0，则是关于的k阶无穷小；若lim=1，则是与等价无穷小，即；若两个无穷小与，如果，则无穷小是无穷小的主部。 函数的连续性函数在点的某一邻域内是有定义的，如果当自变量的增量(由值起趋向于零时，对应的函数的增量也趋向于零，则函数在点(或当x=时)为连续的。函数在点的某一邻域内是有定义的，当x时，函数的极限存在，且等于x=处的函数值，则函数在点(或当x=时)为连续的。如果已知函数在点连续，那么求函数当x时的极限，只要把x用代入，而求它的函数值即可。分式有理函数在它的定义域上每一点都是连续的，特别是，x的多项式对于任何x值都是连续的。函数y=sin x, y=cos x在区间(-，+)内是连续的。在x=处没有定义；或虽在x=处有定义，但不存在；或虽在x=处有定义，且存在，但；或函数在点处左右极限(即都存在，但，则函数在点不连续，点称为间断点。在闭区间上连续的函数在该区间上至少取得它的最大值和最小值各一次。介值定理：设函数在闭区间a, b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值那么，不论C是A与B之间的怎样一个数，在开区间(a, b)内至少有一点，使得特别是如果异号，那么在开区间(a, b)内至少有一点，使得。在开区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。设函数f(x)在某区间X上有定义，如果对于任意给定的正数，总存在有一个正数，使在区间X内任意两点x0,x，只要它们的距离小于，即当|x0-x|时，就有不等式|f(x)-f(x0)|成立，则f(x)在区间上是一致连续的。如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，则它们在该区间上一致连续。有限个在某点连续的函数的和(代数和)是一个在该点连续的函数。有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数。两个在某点连续的函数的商，当分母在该点不为零时，是一个连续函数。如果函数在某区间上单值、单调增加(或减少)且连续，那么它的反函数也在某一对应的区间上单值、单调增加(或减少)。设函数连续，而函数在点连续，且，又设复合函数在点的某一邻域内是有定义的，那么这复合函数在也是连续的，即连续的复合函数也是连续的。指数函数在区间(-，+)内是单调的和连续的；对数函数在区间(0，+)内单调且连续；幂函数在区间(0，+)内是连续的；即一切初等函数在其定义域内是连续的。也就是说一切初等函数若点在其定义域内，则当，函数的极限。 导数与微分函数在点有导数必定在该点连续；在某点连续函数不一定在该点有导数。若函数有导数，则它所表示的曲线在点的切线的斜率为；若函数在该点连续而导数为无穷大，则表示切线垂直于x轴。导数公式表：1、2、3、4、5、6、7、8、9、y = tg x10、y = ctg x11、12、 13、14、 15、16、17、18、19、20、两个函数的代数和的导数等于它们的导数的代数和，即。两个函数的乘积的导数等于第一个因子乘第二个因子的导数再加上第二个因子乘第一个因子的导数，即。常数因子可能从导数的记号内提出来。如果函数、在点有导数，且在该点不为零，则函数在点也有导数，并且。反函数的导数等于直接函数的导数的倒数。若函数在点有导数；在对应点有导数，则复合函数在点的导数等于导数与导数的乘积，即，亦。曲线参数方程所确定的函数的导数为：。极坐标方程的导数(切线斜率)为基本微分公式：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、微分法则 中值定理罗尔(Rolle)定理：若函数在闭区间a, b上连续，且在开区间(a, b)内具有导数，又在区间两端点的函数值相等，即，则在该区间内至少存在一点(ab)，使在该点函数的导数等于零：拉格朗日(Lagrange)中值定理：若函数在闭区间a, b上连续，且在开区间(a, b)内具有导数，则在该区间内至少存在一点(aN时存在且；存在(或无穷大)，则=。2、未定式()：当时，函数都趋于无穷大；在点的邻域内(点本身除外)，均存在且；存在(或无穷大)，则=。推论：当时，函数都趋于无穷大；当|x|N时存在且；存在(或无穷大)，则=。泰勒公式：若函数在含有点的某个开区间内具有直到阶导数，则当在内时，可以表示为的一个次多项式与一个余项的和。(泰勒公式)。其中：(介于之间)(拉格朗日余项)。麦克劳林公式： 导数的应用函数单调增减必要条件：函数在区间上具有导数，如果在上为单调增加(或减少)，则在该区间上这函数的导数0(或0)。函数单调增减充分条件：函数在区间上具有导数，如果在这区间上导数是正的：0，则在区间上为单调增加；如果0，则在区间上为单调减少。函数极值必要条件：函数在处有导数，且在处取得极值(不论极大或极小)，则这函数在处的导数=0。函数极值第一充分条件：函数在点的一个邻域内具有导数且=0：如果当取左边附近的值时，恒为正(或负)，当取右边附近的值时，恒为负(或正)，则函数在处有极大值(或极小值)；如果当取左边及右边附近的值时，恒为正(或负)，则函数在处无极值。函数极值第二充分条件：函数在点处具有二阶导数且=0，则当0时，函数在处取得极小值。函数凹性：函数在区间上具有二阶导数，则在该区间上：当0时曲线弧向上凹；当0时曲线弧向下凹。函数拐点：函数在区间上具有二阶导数，又为内一点，当在左边附近恒为一种符号，在右边附近恒为另一种符号时，点(，)为曲线上的一个拐点，这时必定为零；当在左、右边附近处都保持同一种符号时，点(，)不是曲线的一个拐点。函数渐近线：如果极限存在，且极限也存在，则曲线具有渐近线，它的方程为。弧微分表达式：。曲率：(为切线倾角)。圆上任一点的曲率等于半径的倒数。曲率半径；曲率中心：。方程近似解：方程在区间上，都存在且各自保持一定的符号，区间两端的函数值异号，即。弦位法：；切线(牛顿)法：(当同号用前(后)式。 不定积分若先积分后微分，则两者的作用相互抵消；反之，若先微分后积分，则抵消后要差一常数项。即：及有限个函数的和的积分等于各个函数的积分的和。被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号外面来。基本积分表1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、设具有原函数可导，则的原函数，即有换元公式：。设是单调的、可导的函数，并且；又设具有原函数，则是的原函数，即：。分部积分：。假定为真分式： 1、设是多项式的重根，即，则有分解式：，为常数，为多项式 2、设复数是多项式的重根，(其共轭复数也应是的重根)，并令其中，即设：，则有分解式：，为常数，为多项式。 3、设多项式，则真分式可以分解为：式中等都是常数。分母中如果有因子，则分解有下列个部分分式之和：，式中为常数，如果。分母中如果有因子，则分解后为下列个部分分式之和：，式中都为常数，特别是如果，则分解后为：三角函数积分：设，则：定积分的性质： 1、常数因子可以提到积分号外。 2、函数的代数和的积分等于它们的积分的代数和。 3、交换定积分的上下限，绝对值不变，符号相反。 4、 5、 6、若在上，时，则 7、若在上，则。 8、若M、m是函数在上的最大值和最小值，则 9、中值定理：设函数在闭区间上连续，则在上至少存在一点使得下式成立： =(ab)。积分上限导数定理：设函数在上连续，则积分上限的函数：具有导数，并且它的导数是(axb)。原函数存在定理：如果函数在上连续，则函数就是函数在该区间上的原函数。牛顿莱布尼兹公式：如果是连续函数的区间上的一个原函数，则：。(定积分的值等于被积函数的任一