狗追兔子问题.docx

理论力学课程小论文狗追兔子问题2011011576 力1 陈梓钧目标：1找到简化条件，使得狗的轨迹方程有解析解； 2 寻找在简化条件下，狗一定能抓住兔子的“抓获区域”； 3 研究当狗在“抓获区域”内时，兔子的规避动作； 4 讨论狗有提前量的条件下，问题能否求解，并寻找最佳提前量。一、 在简化模型下寻找狗轨迹方程的解析解 简化假设：以兔子的起点为原点，兔子与窝的连线为y轴建立坐标系，窝的位置为（0,1）。兔子与狗均全速奔跑，速度分别为a与b，a0。于是，只要兔子在此处折转朝向洞口跑，即可逃脱（但并不是最安全的方案）。由此确定了折转点x0=x(to)y0=y(to)由有唯一实根时所满足的系数条件，可得到一个关于c1,c2和初始偏转角的方程H(c1,c2，)=0，再令此方程关于有唯一解，可得另一个仅关于c1,c2的方程。由于c1,c2是初始条件X0,y0的函数，可得到狗的临界区间1x,y=c1(t)。这是解析解。以上过程称为第一次迭代。 图7用FORTRAN计算得1x,y=c1(t)如图7中内部边界（似乎是个8边形），意义为：在该边界内，即便兔子折转1次，也不能逃脱追捕；而在两边界之间，不折转就必被追上，若折转1次则可能逃脱追捕。如图8，在u-v系内，在上面折转一次也必被抓住的情况下，狗必然落在椭圆内（以下称椭圆为C0, 零级边界；依次可定义C1，一级边界）。如此，在倾转角度后，图形的形态和第一次迭代完全相同。写出u-v坐标系下的狗的轨迹参数方程u=u(t)v=v(t)和1x,y=c1(t)，联立之，解出t1，可以得到第二转折点u1=u(t1)v1=v(t1)。用坐标逆变换可以返回x1=x(t1)y1=y(t1)以上过程称为第二次迭代。注意到第1、2次迭代的方程已经不是二次方程，故不能用判别式确定临界区间的边界。FORTRAN中用蒙特卡洛法粗略确定边界如上图所示，具体程序代码见附件。在上述两步中，理论上已经可以确定了两个转折点的坐标。如果图8中狗还落在边界C1内，那么兔子即便转折2次也不能逃脱追捕。继续以上迭代过程，得到nx,y=cn(t) (n=1,2,3.)和逃脱边界Cn，如图9。这个函数列不能收敛于线段。首先，曲线必然包括兔子和兔子洞在内，所以若收敛，则必收敛于线段，那么狗在全平面上任何一点都不可追上兔子，这和实际情况矛盾。图9 limnnx,y=c(t)如果该极限存在，则可确定一个区域，在此区域外，兔子一定能通过跑某种模式的折线逃脱追捕。（由于以上条件都不是最优解，在区域内未必不能逃脱追捕）图8三、 讨论狗有提前量的情况，并找到在兔子跑直线的情况下狗的最佳提前量（1）提前量为常角度，微分方程改写为：dydt=bxsin+(at-y)cosx2+at-y2 (11)dxdt=b-xcos+(at-y)sinx2+at-y2 12x0x1+dydx2(-dx)=bt (13)令 -y(x)=tan(x)，化简得变量分离方程 2bad(sin(x)1+cos(2)-2cos2sin2x+sin(2)sin(x)1-sin2(x)=dxx (14)因为左边积分难于求出，故只能用数值方法模拟轨迹。 如图11，红线是没有提前量时狗的追击轨迹，蓝线为提前6度的追击轨迹，绿线为提前15度的追击轨迹，黄线为提前30度时的追击轨迹，浅蓝色的为45度的追击轨迹。可见当兔子跑直线时有提前量未必能带来好处，且可列出狗追上兔子的时间顺序（以x=0为判据）：在兔子洞与兔子的间距为1，狗在（1,0）起跑，狗速度=2，兔子速度=1的情况下（此时狗追上兔子时的y坐标即为所消耗的时间）：提前量角度45度30度15度6度0度追上时的y坐标（狗兔差距=0.01）0.61710.57780.59900.63060.67用多项式拟合，可以确定比较合适的定常提前量。如图12的蓝色曲线，曲线似乎符合一个二次函数，最佳提前量在30度左右，追上时的y坐标为0.5778. 图11 图12（2）提前角度量为反比于时间的线性函数假设上述简化情况不变，只是把定常的角度换为(1-t)dydt=bxsin(1-t)+(at-y)cos(1-t)x2+at-y2 (11)dxdt=b-xcos(1-t)+(at-y)sin(1-t)x2+at-y2 12x0x1+dydx2(-dx)=bt (13)提前量常数6度15度30度45度追上时的y坐标（狗兔差距0.01）0.63750.60930.58350.5830如图12的红色曲线，它很好地符合二次函数，在最短时间上，它与定常提前量相比基本没有优势。（3）提前量正比于x的情况提前量常数6度15度30度45度追上时的y坐标（狗兔差距0.01）0.64580.62130.59900.5942如图12的绿色曲线，它很好地符合二次函数，但比起前两种策略没有任何优势。（4）提前量正比于|yd-yr|的情况提前量常数6度15度30度45度追上时的y坐标（狗兔差距0.01）0.66160.65520.64630.6391显然，此种情况更加不可能成为优势策略。在以上粗略探究中，定常提前量30度成为最优策略。它对应于直线追击的情况。猜想1：在定常提前量时，是否每个b/a的最优策略都是直线追击？猜