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常微分期末考试试题Pa42 1.(8) (10) 2.(1）(4）Pa60 1.(1) (2) 2.(1) (2) (4) (5)Pa88 1.2.3pa111 1.(1) (2) Pa132 7Pa164 2.(6) (8) (9) (13) (14) (15)Pa182 2.(2) (3)pa244 2. 4.(1) (2)8.解下列方程，并求奇解（如果存在的话）：1、解：令，则，两边对x求导，得 从得 时，；从得 ，为参数，为任意常数.经检验得，是方程奇解.2、解：令，则，两边对x求导，得 ，解之得 ，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.9.试证n阶非齐线形微分方程（4.1）存在且最多存在n+1个线形无关解。 证：设为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，是（4.1）的一个解，则： （1），均为（4.1）的解。同时（1）是线形无关的。 事实上：假设存在常数，使得： （*）的左端为非齐线形方程的解，而右端为齐线形方程的解，矛盾！从而有又为（4.1）对应的齐线形方程的一个基本解组，故有： 即（1）是线形无关的。10. 求下列常系数线性微分方程：1.解：特征方程有根2,两重根1齐线性方程的通解为x=又因为0不是特征根，故可以取特解行如代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=-4-t 2.解：特征方程有复数根故齐线性方程的通解为取特解行如代入原方程解得A=故通解为3. 解：特征方程有根-2,1故齐线性方程的通解为x=因为+-2i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解为x=4.解：特征方程有根-1+i,-1-i故齐线性方程的通解为不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=故通解为+5. 解：特征方程有根i,- i故齐线性方程的通解为,i,是方程的解 代入原方程解得A= B=0 故 代入原方程解得A= B=0 故故通解为11.试证：如果是=Ax满足初始条件的解，那么expA(t-t)证明：由定理8可知(t)-1(t0) (t) 又因为(t)= expAt , -1(t0)=( expAt0)-1= exp(-At0), f(s)=0,又因为矩阵 （At）（- At0）=（- At0）（At）所以 expA(t-t)12.试求方程组=Ax的一个基解矩阵，并计算expAt，其中A为：a） b）解：a）det（EA）=0得，对应于的特征向量为u， （ 0 ）对应于的特征向量为v， （ ）u，v是对应于，的两个线性无关的特征向量(t)=是一个基解矩阵 ExpAt=b) 由det（EA）=0得
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