牛顿插值MATLAB算法.doc

MATLAB程序设计期中作业 编程实现牛顿插值成员:刘 川（P091712797）签名汤 意（P091712817） 签名王功贺（P091712799） 签名班级:2009信息与计算科学学院:数学与计算机科学学院日期:2012年05月02日牛顿插值的算法描述及程序实现一：问题说明在我们的实际应用中，通常需要解决这样的问题，通过一些已知的点及其对应的值，去估算另外一些点的值，这些数据之间近似服从一定的规律，于是，这就引入了插值法的思想。插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。二：算法分析newton插值多项式的表达式如下：其中每一项的系数ci的表达式如下：即为f (x)在点处的i阶差商，（，），由差商的性质可知：牛顿插值的程序实现方法：第一步：计算。第二步：计算牛顿插值多项式中，得到n个多项式。第三步：将第二步得到的n个多项式相加，得到牛顿插值多项式。第四步：利用所得到的插值多项式，估算取其它值时的值。第五步：作出所求多项式在插值结点周围的函数图像。三：编程实现function p2,z=newTon(x,y,t) %输入参数中x,y为元素个数相等的向量，t为待估计的点，可以为数字或向量。%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式，z为利用多项式所得的t的函数值。n=length(x);chaS(1)=y(1);for i=2:n x1=x;y1=y; x1(i+1:n)=; y1(i+1:n)=; n1=length(x1); s1=0; for j=1:n1 t1=1; for k=1:n1 if k=j continue; else t1=t1*(x1(j)-x1(k); end end s1=s1+y1(j)/t1; end chaS(i)=s1;endb(1,:)=zeros(1,n-1) chaS(1);cl=cell(1,n-1);for i=2:n u1=1; for j=1:i-1 u1=conv(u1,1 -x(j); cli-1=u1; end cli-1=chaS(i)*cli-1; b(i,:)=zeros(1,n-i),cli-1;endp2=b(1,:);for j=2:n p2=p2+b(j,:);end if length(t)=1 rm=0; for i=1:n rm=rm+p2(i)*t(n-i); end z=rm;else k1=length(t); rm=zeros(1,k1); for j=1:k1 for i=1:n rm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)(n-i); end z=rm; endendplot(t,z,y,x,y,*r)四：实例验证clcclearx=0.4 0.55 0.65 0.80 0.90 1.05;y=0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25386;t=0.4:0.1:1.05;u,v=newTon(x,y,t)执行结果：u = 0.0085 0.0032 0.1587 0.0073 0.9971 0.0004v =0.4108 0.5211 0.6367 0.7586 0.8881 1.0265 1.17521.3356 1.5095则所求得的牛顿多项式为：牛顿多项式的函数图像及已知节点在坐标中的显示如下：五：结果分析本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数，通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算点的值，作出了节点及待求多项式的函数图像，能够比较清晰的通过图像显示出来，总体来说，计算结果是比较理想的，达到了我们的目的。然而程序在实现过程中，依旧存在着一些不足之处，总体反应在灵活性方面，参数的输入必须为三个，否则程序会出错，有时候我