高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-2.ppt

2020 2 24 数学与计算科学学院 三 数量乘法 一 加法 二 乘法 四 转置 4 2矩阵的运算 2020 2 24 数学与计算科学学院 1 定义 设则矩阵 称为矩阵A与B的和 记作 即 一 加法 2020 2 24 数学与计算科学学院 说明 例如 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 2020 2 24 数学与计算科学学院 1 交换律 2 结合律 3 4 定义 2 性质 3 减法 2020 2 24 数学与计算科学学院 设则矩阵 其中 称为与的积 记为 1 定义 二 乘法 2020 2 24 数学与计算科学学院 乘积有意义要求A的列数 的行数 乘积中第行第列的元素由的第行 乘的第列相应元素相加得到 注意 如 不存在 2020 2 24 数学与计算科学学院 例1线性方程组 令 则 1 可看成矩阵方程 2020 2 24 数学与计算科学学院 而无意义 例2 例3 2020 2 24 数学与计算科学学院 例4 2020 2 24 数学与计算科学学院 注意 未必 若 称A与B可交换 一般地 即且时 有可能 未必有或 2020 2 24 数学与计算科学学院 2 矩阵乘法的运算规律 5 结合律 分配律 2020 2 24 数学与计算科学学院 证 1 设 令 其中 的第i行第l列元素为 的第i行第l列元素为 结合律得证 2020 2 24 数学与计算科学学院 设为级方阵 定义 称为的次幂 3 矩阵的方幂 定义 个 2020 2 24 数学与计算科学学院 3 一般地 性质 2020 2 24 数学与计算科学学院 解 例5 设求 2020 2 24 数学与计算科学学院 由此归纳出 用数学归纳法证明之 当时 显然成立 假设时成立 则时 2020 2 24 数学与计算科学学院 故对于任意都有 2020 2 24 数学与计算科学学院 称为矩阵A与数k的数量乘积 记作 三 数量乘法 1 定义 设则矩阵 即 2020 2 24 数学与计算科学学院 2 性质 注 矩阵的加法与数量乘法合起来 统称为矩阵的线性运算 2020 2 24 数学与计算科学学院 6 若A为n级方阵 数量矩阵与任意矩阵可交换 数量矩阵加法与乘法可归结为数的加法与乘法 2020 2 24 数学与计算科学学院 设的转置矩阵是指矩阵 记作或 四 转置 1 定义 2020 2 24 数学与计算科学学院 2 性质 5 若为方阵 则 2020 2 24 数学与计算科学学院 3 证 设 中的元素为 从而中的元素为 中的元素为 又的第i行元素为 的第j列元素为 2020 2 24 数学与计算科学学院 设n级方阵 1 若满足即 3 对称矩阵反对称矩阵 定义 则称A为对称矩阵 2 若满足即 则称A为反对称矩阵 2020 2 24 数学与计算科学学院 性质 2 对称 对称 反对称 反对称 1 对称对称 反对称反对称 3 奇数级反对称矩阵的行列式等于零 为奇数时 2020 2 24 数学与计算科学学院 i 对称 积对称吗 想一想 ii 反对称 积反对称吗 皆为n级对称矩阵 对称 证 若AB对称 则有 反过来 若AB BA 则有 所以AB对称 2020 2 24 数学与计算科学学院 例8设A为n级实对称矩阵 且 证明 证 设 2020 2 24 数学与计算科学学院 又皆为实数 2020 2 24 数学与计算科学学院 练习 1设列矩阵满足 H是对称矩阵 且 2已知 求 2020 2 24 数学与