小波变换论文.doc

Fourier变换和Gabor变换与小波变换的比较研究摘要：对Fourier变换、Gabor变换和小波变换进行比较，从Fourier变换的定义出发进行分析阐述，指出了Fourier变换不具有局部化分析的功能以及时频完全分离的缺点。通过对Gabor变换的核函数进行时频两域分析，说明了它品质因数是不恒定的以及它的一些缺陷;最后对小波变换的核函数进行分析，论述了小波变换具有品质因数恒定和多分辨率分析等优点。关键词:Fourier变换，Gabor变换，小波变换Abstract: Fourier transform, Gabor transform and wavelet transform were compared. From the definition of Fourier transform a conclusion can be reached that it has the disadvantages of complete separation of time and frequency and the disability of local analysis. The inconstancy of the quality factor of Gabor transform and its limitations were educed by the time-frequency field analysis of its nuclear function. On the contrary, wavelet transform has the advantages of multi-resolution analysis and the constancy of its quality factor.Key words: Fourier transform, Gabor transform, wavelet transformFourier分析方法(Fourier,1807)提供了一种把时域信号转换到频域进行分析的途径,但它只考虑时域和频域之间的一对一映射关系,是一种时频完全分离的分析方法1。这种方法用于分析平稳信号，在分析非平稳信号时就有些力不从心了。针对Fourier变换不能局部化分析,Gabor于1946年引入了Gabor变换,又称短时Fourier变换(Short time Fourier transform);它在一定程度上解决了Fourier变换的时频分离的不足。但是,Gabor变换在待分析信号上加一个窗口函数,改变了原信号的性质,并且它本身仍然存在一些缺陷难以克服。小波变换(Wavelet transform)理论是继Fourier分析之后的一个突破性进展2,它给许多相关领域提供了一种强有力的分析工具。小波变换是一个时间和频率的局域变换,利用联合的时间-尺度函数分析非平稳信号，能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多分辨率细化分析,从根本上克服了Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺陷.1Fourier变换Fourier变换把信号分析的时域与频域联系起来,但同时又把它们割裂开来，如果一个信号f(t)在(-,+)上满足：(1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件；(2) f(t)在(-,+)上绝对可积,即，就可以通过Fourier变换把时域信号f(t)转换到频域进行处理,然后再通过Fourier反变换把频域信号转换回时域。很多在时域难以解决的问题,转换到频域便可以得到很好的解决,大大提高了信号处理的质量。Fourier变换将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域进行分析，但却不能把二者有机地结合起来，这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息而频域波形中又不包含任何时域信息。Fourier变换是时域与频域完全分离的，对于Fourier谱中的某一频率,无法知道这个频率是在什么时候产生的2。Fourier变换适合处理长时间内比较稳定的信号4，而在实际的信号处理中，尤其是对非平稳信号(如语音信号、探地信号等)的处理中，这些信号的频域特性随时间变化5，所以信号在任一时刻附近的频域特征都很重要，这种情况下时频两域便不能完全分离。这样，Fourier变换在时域和频域局部化的问题上就显现出了它的局限性。这就促使人们去寻找一种新的分析方法,能将信号的时域和频域结合来构成信号的时频谱,也就是所谓的时频分析法。2Gabor变换Gabor变换的基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用Fourier变换分析每一个时间间隔,以便确定信号在该时间间隔存在的频率2，其处理方法是对信号f(t)施加一个滑动窗w(t-)(是移位因子,反映滑动窗的位置)后，再作Fourier变换，即： （1）Gabor变换虽然在一定程度上克服了Fourier变换不具有局部分析能力的问题,但它自身存在着不可克服的缺陷。公式(1)也可以看成是f(t)和的内积，即： (2)Gabor变换是对原信号f(t)施加一个窗口函数w(t -)，相当于对f(t)w(t -)进行Fourier变换，所以f(t)w(t -)与原信号f(t)的Fourier变换频谱一定不同，Gabor变换所得信号STF(,)相对于Fourier变换所得结果F()是有误差的，它在一定程度上受到窗口函数的影响。例如，一个定义域在(-,+)上的余弦信号，它的Fourier变换是，再定义一个定义域在(-/2, +/2)上的余弦信号，这也相当于在余弦信号上加一个长度为的矩形窗口。由此可见，当定义域的长度为有限时,余弦信号的频谱由原来的在-0和0处的两条直接扩展到整个轴，而且越小越严重，因为此时信号频谱中不仅包含余弦信号,而且还包含一个矩形信号。由此可见，对原信号f(t)施加一个窗口函数w(t-)，必然会导致原信号f(t)的Fourier频谱失真,这也就是Gabor变换的内在缺陷。如图1所示：3小波变换小波变换继承和发展了Gabor变换的局部化思想,同时又克服了Gabor变换不恒Q、缺乏离散正交基等缺点，特别是在分析一个非平稳信号时，信号波形变化剧烈时，主频率是高频,就要有较高的时间分辨率,要求窗口在时间轴上要窄一些,而波形变化比较平缓的时刻,主频率是低频,则要有较高的频率分辨率，要求窗口在频率轴上要窄一些6，而Fourier变换和Gabor变换都无法做到这样的多分辨率分析。设x(t)L2(R),(t)是被称为基本小波或母小波的函数，则： （3）上式称为x(t)的小波变换，其中a 0是尺度因子，反映位移,其值可正可负，是基本小波位移与尺度伸缩6。尺度因子a的作用是将基本小波(t)作伸缩，a越大(t/a)越宽,也就是,在不同尺度下小波的持续时间(即分析时段)随a增大而增宽。可以证明，小波变换的等效频域表示为： （4）由此可见,如果()是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号X()频域上局部性质的能力6，小波变换可以达到多分辨率分析的效果。虽然分析频率有高有低，但在各个分析频段内分析的品质因数Q却保持不变，所以它能准确反映待分析信号的幅频特性。这是小波变换相对于Gabor变换的最大的优点，如果希望在时域上观察得越细致，就越要压缩观察范围，并提高分析频率。表2频率变化时(t)参数的变化Fourier变换的核函数是单一的，即，而小波变换的核函数却不具唯一性，小波函数(t)具有多样性，小波变换在工作应用中的一个十分重要的问题就是最优小波基的选取，用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。4结语由以上对Fourier变换、Gabor变换和小波变换的讨论,可以得出以下结论：Fourier变换是信号在整个时域内的积分；Fourier频谱只是信号频率的统计特性，没有局部化分析信号的功能，它虽然能将信号的时域和频域特征联系起来，但却不能将它们有机地结合起来对信号进行分析。这样的方法只适合处理平稳信号,无法处理非平稳信号。Gabor变换在一定程度上克服了Fourier变换不具有局部化分析能力的问题，但也存在着一些缺陷，Gabor变换的时频窗口的形状一旦选定就是不可改变的，即不能根据待分析信号频率的变化而改变分辨率，它不能准确反映信号的特性，Gabor变换所得结果受窗口函数的影响，有一定的失真。小波变换不但具有时频两域局部化分析的能力，而且品质因数都恒定不变。小波变换能作多分辨率分析，当a值较小时,时轴上观察范围小，而在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析，即用高频小波作细致观察，当a值较大时，时轴上观察范围大，而在频域上相当于用较低频小波作概貌观察，很符合实际工作的需要。另外，小波变换的核函数不具唯一性,所以小波变换在工程应用中最值得关注的一个问题就是最优小波基的选取，这也是小波变换如何恰当地应用于各种具体问题的一个重点和难点,值得进一步研究。小波分析存在着各种优势，但Fourier分析仍然是无可替代的，小波分析与Fourier分析不是互相排斥，而是相辅相成、互相补充的，它们的巧妙结合将使纯粹数学与应用数学得到更快的发展，并为工程领域提供更新的、更强有力的数学分析工具。参考文献:1冯象初,甘小冰,宋国乡.数值泛函与小波理论M.西安:西安电子科技大学出版社,2003:1.2胡昌华,张军波,夏军,等.基于MATLAB的系统分析与设计小波分析M.西安:西安电子科技大学出版社,2000:2-6.3南京工学院数学教研组.积分变换M.第3版.北京:高等教育出版社,1989:7-10.4刘鲁源,李宗勃.从傅里叶变化到小波变化J.自动化与仪表,2000,15(6):1-7.5彭玉华.小波变换与工程应用M.北京:科学出版社,2002:8-10.6杨福生.小波变换的工程分析与应用M.北京:科学出版社,2000:1.7冉启文.小波分析方法及其应用J.数理统计与管理,1999(1):52-55.8MALLAT S G.A theory for wavelet representation J.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1989,11(7):674-693.9 DAUBECHIES I. Ten lectures on wavelets M.Philadelphia: Capital City Press, 1992:1.10WORNELL G,Oppenheim. Estimation of fractal signal from noisy measurements using wavelet J.IEEE Transactions on Singal Processing,1992,40(4):611-623.11HU Yong-jian,KWONG Sam.Wavelet domain adaptive visible watermarkingJ.Electronics Letters,2001,37(20):1219,1220.12WU Xiu-qing,ZHOU Rong,XU Yun-xiang.A method of wavelet-based edge detectin with data fusion for multiple images13UJEVIC N.A generalization of the pre-Gruss inequality and applications to some quadrature fomularJ.J Inequal Pur