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文档简介

球与多面体的内切 外接 球的半径r和正方体的棱长a有什么关系 二 球与多面体的接 切 定义1 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上 则称这个多面体是这个球的内接多面体 这个球是这个 定义2 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切 则称这个多面体是这个球的外切多面体 这个球是这个 多面体的外接球 多面体的内切球 正方体的内切球直径 正方体的外接球直径 与正方体所有棱相切的球直径 若正方体的棱长为a 则 a 长方体的外接球的球心是体对角线的交点 半径是体对角线的一半 设长方体的长 宽 高分别为a b c则对角线长为 a2 b2 c2 设为1 甲球为内切球直径 正方体棱长 中截面 正方形的对角线等于球的直径 球内切于正方体的棱 对角面 设为1 球的内接正方体的对角线等于球直径 球外接于正方体 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 1 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 过侧棱AB与球心O作截面 如图 在正三棱锥中 BE是正 BCD的高 O1是正 BCD的中心 且AE为斜高 解法1 作OF AE于F 设内切球半径为r 则OA 1 r Rt AFO Rt AO1E 设球的半径为r 则VA BCD VO ABC VO ABD VO ACD VO BCD 解法2 例2 正三棱锥的高为1 底面边长为 求棱锥的全面积和它的内切球的表面积 注意 割补法 例3求棱长为a的正四面体P ABC的外接球的表面积 过侧棱PA和球心O作截面 则 截球得大圆 截正四面体得 PAD 如图所示 连AO延长交PD于G 则OG PD 且OO1 OG Rt PGO Rt PO1D 解法1 解法2 球的内切 外接问题 5 体积分割是求内切球半径的通用做法 1 内切球球心到多面体各面的距离均相等 外接球球心到多面体各顶点的距离均相等 2 正多面体的内切球和外接球的球心重合 3 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上 但不重合 4 基本方法 构造三角形利用相似比和勾股定理 正四面体的三个球 一个正四面体有一个外接球 一个内切球和一个与各棱都相切的球 那么这三个球的球心及半径与正四面体有何关系呢 为了研究这些关系 我们利用正四面体的外接正方体较为方便 正四面体的外接球即为正方体的外接球 与正四面体各
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