3.2 (有限)积空间.doc

德州学院数学系 点集拓扑教案 3.2 （有限）积空间 为避免过早涉及某些逻辑上的难点，本节只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形下的研究留待以后去做.给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡尔积.为按某种正常的方式给定这个笛卡尔积一个拓扑使其成为拓扑空间，我们先考虑度量空间.一 度量积空间 我们知道在n维欧式空间Rn 中两个点，之间的距离（x,y）定义为：（x,y）= ，其中|是R中两个点xi和yi 的通常距离.推广这个定义得到：定义3.2.1 设是n1个度量空间.令X=X1X2Xn .定义：XX R 使得对于任何，X ，（x,y）= .容易验证 是X的一个度量.我们称为笛卡尔积X=X1X2Xn 的积度量；称（X,）为n个度量空间的度量积空间.注 由定义知，Rn 是n个实数空间R的度量积空间.每个度量空间也是拓扑空间，其拓扑就是其度量诱导出的拓扑.度量积空间的度量诱导的拓扑具有下面的一个重要性质：定理3.2.1 设是n1个度量空间，（X,）为它们的积空间，又设T i 和T 分别是由度量 i 和所诱导出来的Xi和X的拓扑，其中i=1,2, , n .则X的子集族B = U1 U2 Un | Ui T i , i=1,2, , n是X的拓扑T 的一个基.证明 仅就n=2 的情形加以证明.首先根据积度量的定义容易得到：对任意x=(x1, x2)X和任意0，我们有：其中分别表示xi , x在度量空间Xi 和X中分别以xi , x为中心，以为半径的球形邻域，i=1,2 .验证 若y=(y1,y2)左，则1(x1 , y1)2 ，2(x2 , y2 )2 .所以 所以，y中，所以左中.若y=(y1,y2) 右，则（因为这时1(x1 , y1)2 ， 2(x2 , y2 )2 至少有一个） ，所以y中.这证明 中右.设 U1U2 B ，其中U1T 1 , U2T 2 ，如果x = (x1 , x2 )U1U2，则存在和，于是，其中.这说明U1U2是x的一个邻域.由于x是U1U2中的任意一个点，所以U1U2是X中的一个开集.这证明BT .如果U是X中的任意一个开集，即UT ,则对于每一点xU，存在，从而.由此可见 .这就是说，X中的每一个开集是B中的某些元素的并.因此B是T的一个基.一般情况的证明类似.二 拓扑积空间 由定理3.2.1的启示，我么按下列方式引进有限个拓扑空间的积空间这一概念.先看下面的定理定理3.2.2 设(X1，T 1), (X2，T 2)，(Xn ，T n )是n1个拓扑空间，则X=X1 X2 Xn有唯一的一个拓扑T以X的子集族B =U1U2 Un | Ui T i ，i=1,2,，n 为它的一个基.证明 由于X=X1 X2 XnB ，所以； 如果U1U2 Un ，V1V2 VnB ，其中Ui ，ViT i ，i=1,2,，n ,则（U1U2 Un ）（V1V2 Vn）=(U1V1)(U2V2)(UnVn)B ，由定理2.6.3，可见本定理的结论成立. 证毕.定义3.2.2 设(X1，T 1), (X2，T 2)，(Xn ，T n )是n1个拓扑空间，则X=X1 X2 Xn的以子集族B =U1U2 Un | Ui T i ，i=1,2,，n 为它的一个基的那个唯一的拓扑T 称为拓扑T 1, T 2，T n 的积拓扑，拓扑空间 ( X, T ) 称为拓扑空间(X1，T 1), (X2，T 2)，(Xn ，T n )的（拓扑）积空间.说明 据定理2.6.3 ， X=X1 X2 Xn以B =U1U2 Un | Ui T i ，i=1,2,，n 为基的那个唯一的拓扑T =. 设X1， X2，Xn是n1个度量空间，则笛卡尔积X=X1 X2 Xn可以有两种方式得到它的拓扑：一是先将X作成度量积空间，然后由积度量诱导出X的拓扑T ，其基为B =U1U2 Un | Ui T i ，i=1,2,，n （定理2.3.1）；另一个是先用每一个Xi的度量i 诱导出Xi的拓扑T i ，然后将X考虑作为诸拓扑空间Xi的拓扑积空间，其拓扑（即积拓扑）T 的基也是B =U1U2 Un | Ui T i ，i=1,2,，n （定理2.3.2和定义3.2.2） .因为基是同一个，所以这两种方式得到的拓扑是一样的.下面的定理是这一问题的明确陈述：定理3.2.3 设X=X1 X2 Xn是n1个度量空间X1， X2，Xn的度量积空间.则将X和Xi都考虑作为拓扑空间时，X是X1， X2，Xn的（拓扑）积空间.特别的，作为拓扑空间，n维欧氏空间Rn 便是n个实数空间R的（拓扑）积空间.三 （拓扑）积空间的性质定理3.2.4 设X=X1 X2 Xn是n1个拓扑空间X1， X2，Xn的积空间，对于每一个i=1,2,，n，拓扑空间Xi 有一个基B i ，则X的子集族 是拓扑空间X的一个基.证明 设T i 为Xi 的拓扑，i=1,2,，n .令B 是（积拓扑的定义中的）积拓扑的那个基，为证明是积拓扑的一个基，只需证明B中的每一个元素均可以表示为中的某些元素的并.设U1U2 Un B ，其中Ui T i ，由于B i是T i的一个基，故对每一个i，存在使得 .于是U1U2 Un = = = 其中D =B1B2 Bn | Bi Di ，i=1,2,，n 这就完成了定理的证明. 证毕. 例3.2.1 由于实数空间R有一个基是由所有的开区间构成，故由定理3.2.4立即可见，n维欧氏空间Rn 中的所有开方体 (a1 , b1 )(a2 , b2 )(an , bn )构成Rn的一个基。特别地，欧氏平面R2 有一个基由所有的开矩形(a1 , b1 )(a2 , b2 )构成. 定理3.2.5 设X=X1 X2 Xn是n1个拓扑空间X1， X2，Xn的积空间，令T 为X的拓扑，T i 为Xi 的拓扑，i=1,2,，n.则X以它的子集族为它的一个基. 其中，对于每一个i，映射pi：XXi 是笛卡尔积X到它的第i个坐标集Xi 的投射.证明 我们仅证明n=2 的情形：X= X1 X2 .首先注意，对于任何A1X1和A2X2 ， 有P1-1(A1) = A1X2 , P2-1(A2) = X1A2 .根据积空间的定义， 是X= X1 X2的一个基. 令为的每一有限非空子族之交的全体构成的集族，即.由于明显地，而，从而.同时，因为，可见，因此，于是由B是X的基可知，是X的一个基. 因此S是X的一个子基.一般情形的证明类似，略去.定义3.2.3 设X,Y是拓扑空间，f：XY. 如果X中每一开（闭）集在映射f下的像是Y中的开（闭）集，则称f是一个开(闭)映射.说明 由于 （定理1.6.3），所以，f：XY是开映射X的基中元素的像都是Y中的开集. 若f是一一映射，则f是开映射f是闭映射. 开映射不一定连续.例f：XY. X取非离散拓扑，Y取离散拓扑，即使f唯一一的也不连续，但它是开映射.定理3.2.6 设X=X1 X2 Xn是n1个拓扑空间X1， X2，Xn的积空间，则对于每一个i=1,2,，n，笛卡尔积X到它的第i个坐标集Xi 的投射pi：XXi 是一个满的连续开映射.证明 显然pi 是一个满射，对于Xi中的每一个开集Ui，据定理3.2.5 ，是X的某一子基的元素，所以必是X中的开集.这证明pi 连续.令B是积拓扑定义中X的那个基，任取UB，则U=U1U2 Un ,其中Ui 是Xi中的开集.由于pi（U）= pi（U1U2 Un）= Ui是Xi中的开集， （由定义3.2.3后的说明），所以pi是一个开映射.例3.2.2 积空间到它的坐标空间的投射可以不是闭映射.如考虑P1 ：R2R ,B=(x1， x2)R2 | x1x2 = 1 是 R2中的一个闭集，然而P1（B）=R-0却不是R中的闭集.定理3.2.7 设X=X1 X2 Xn是n1个拓扑空间X1， X2，Xn的积空间，Y也是拓扑空间.则映射f：YX连续对于每一个i=1,2,，n，复合映射pi f ： YXi 连续。其中pi：XXi是积空间X到它的第i个坐标空间Xi 的投射 。证明 据定理3.2.6 ，每一个投射pi连续，所以当f连续时，每一个pi f连续.另一方面，假设对于每一个i=1,2,，n，复合映射pi f ： YXi 连续. 对X的子基(见定理3.2.5) 中的每一个元素的f原像=是Y中的开集.据定理2.6.5可知f连续. 证毕.说明 这个定理是数学分析中的一个相应定理的推广.数学分析中的定理经常被陈述为：从n维欧氏空间Rn 到m维欧氏空间Rm 的一个函数（映射）连续它的每一个分量函数连续.例如f：RR2 定义为：f(t)=(x(t),y(t) 连续 x(t),y(t)都连续.定理3.2.8 设X=X1 X2 Xn是n1个拓扑空间X1， X2，Xn的积空间，Y也是拓扑空间，T是X的积拓扑.又设是X的某一拓扑满足条件：对于X的拓扑而言，pi：XXi 连续，i=1,2,，n ，则T .换言之，积拓扑是使从积空间到每一个坐标空间的投射都连续的最小的拓扑.证明 由于X的拓扑使得对于每一个投射都连续，所以对于每一个i=1,2,，n和Xi中的任何一个开集Ui 我们有.于是X的积拓扑T 的子基（见定理3.2.5）：包含于，从而T . 证毕. 注：定理3.2.8说明了积拓扑的一个重要特性.定理3.2.9 设X1， X2，Xn是n2个拓扑空间，则积空间X=X1 X2 Xn同胚于积空间（X1 X2 Xn-1）Xn .证明 X1 X2 Xn到它的第i个坐标空间Xi 的投射记作 pi ，X1 X2 Xn-1到它的第j个坐标空间Xj 的投射记作 q j ，将（X1 X2 Xn-1）Xn . 到它的第坐标空间X1 X2 Xn-1和Xn 的两个投射分别记作r1 和r2 .据定理3.2.6 所有这些投射都连续.定义映射k：X1 X2 Xn（X1 X2 Xn-1）Xn使得对于任何 (x1， x2，xn )X1 X2 Xn , k(x1， x2，xn ) = ( (x1， x2，xn-1)，xn ),容易验证k是一个一一映射.为证k连续，据定理3.2.7，只需证明映射r1k 和r2k连续.映射r1k：X1 X2 XnX1 X2 Xn-1 是连续的，这是因为对于每一个j=1,2,n-1 ，映射q j r1k = pj 连续，此外r2k = pn 也连续.完全类似地证明可知k-1连续，因此k是一个同胚.说明： 本定理中，尽管X1 X2 Xn和（X1 X2 Xn-1）Xn作为集合是完全不同的，但这个定理说明，如果对同胚的空间不予区别，那么这两个空间却是一样的. 定理还说明，如果对同胚的空间不予区别，有限个拓扑空间的积空间可以通过归纳的方式予以定义