对几个矩阵不等式的探讨及应用.doc

对几个矩阵不等式的探讨及应用任德耀 指导老师:李建华(河西学院数学与应用数学专业届班号, 甘肃张掖 )摘要 本文主要对几个矩阵不等式给出证明,并给出具体例子说明这几个矩阵不等式在证明题中的的应用.关键词 矩阵不等式 正定矩阵 对称矩阵 中图分类号 .1 引言矩阵是数学研究及其应用的一个重要工具,在数学学科和许多科学领域都有广泛的应用.而矩阵不等式在近些年来引起了许多学者的兴趣,一些经典不等式在矩阵中的推广及应用更是成为研究的热门问题.本文对几个矩阵不等式进行了深入研究,主要目的是给出了几个不等式的证明，并将其运用到证明题中.今后还将更深入的对矩阵不等式进行研究.2 预备知识引理 设,则存在矩阵与,(即列无关,行无关),使.引理 设均为正数，则 当且仅当时，等号成立.引理 设正定，为对称矩阵，则存在可逆矩阵，且，使得 其中.引理 设是阶正定实对称矩阵,则对任意的正数有 等号成立当且仅当3 对几个矩阵不等式的证明定理 设依次为矩阵，则.证明 由分块矩阵的初等变换知又初等变换不改变分块矩阵的秩及引理1，知：从而 .定理2 设正定，则 （1）当且仅当时等号成立. 证明 因正定，有引理3知，存在可逆矩阵，且，使得 （2）其中,因此 （3）又因 于是不等式（1）等价于 由已知条件及引理2知（3）式成立，从而定理得证，等号成立的条件是：当且仅当（3）式等号成立，即有 ，代入（2），得 即 在（1）中令，即得（1）.推论 设正定，则 当且仅当时，等号成立.定理 设为阶正定实对称矩阵,则对任意正数有 当时,等式成立当且仅当,当时,等式成立当且仅当证明 当时,由引理4得证 当时,设为正数且则 上式中的为阶单位矩阵,因为是阶正定实对称矩阵,所以 实质为阶正定实对称矩阵,而,所以 即, ,证毕.推论 设阶正定实对称矩阵，则 当时,等式成立当且仅当.当时,等式成立当且仅当证明 用归纳法，当时显然成立.假设当时已成立，则当时有 即当时成立，得证.4 几个矩阵不等式的应用例1 设都是矩阵，证明：若，那么.证明 由，于是以，由定理1得 .例2 设是三个阶方阵，证明：若，则.证明 由和定理1知 另一方面 故 .例3 求证：对满足条件的所有实数及有不等式 成立，并求出等号成立的条件.证明 由题设知，2阶实矩阵 是正定的，且原不等式等价于 由推论1有 即 故原不等式成立，当且仅当，即时，等号成立.例4 证明不等式 证明 取为一阶矩阵，则，由推论2得到 两边平方得 得证.5 小结 本文对三个矩阵不等式进行了研究，证明了三个矩阵不等式在一定条件下成立，并得出其推论.然后又将三个矩阵不等式或其推论运用到证明题中，充分说明了该矩阵不等式的存在和成立.本文只是对三个矩阵不等式进行了研究，不具备代表性，未来还将对更多的矩阵不等式进行更深入的研究.参 考 文 献1王莲花,梁保松.不等式的一个证明及其应用.安阳师范学院学报J，2004(5). 2方献亚.正定实对称矩阵的几个不等式.数学通报J,1985(3).3郑维英.一个矩阵不等式的改进及应用.鞍山钢铁学院学报J,2000(5).4胡海清.