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第二章 一阶微分方程的初等解法2.1 变量分离方程与变量变换习题2.1求下列方程的解1，并求满足初始条件：的特解解 分离变量，得到，两边积分，即得，因而，通解为 ，这里是任意常数此外，方程还有解由得，特解2，并求满足初始条件：的特解解 分离变量，得到，两边积分，即得，因而，通解为，这里是任意常数此外，和是两条积分曲线由得，特解3解 分离变量，得到，两边积分，即得，所以得通解，这里是任意正常数4解 分离变量，得到，两边积分，即得，因此得通解，这里是任意常数另有特解和5解 变形得 ，这是齐次方程，设，得，代入原方程得 ，分离变量得 ，两边积分，即得，即，这里是任意常数6解 变形得 ，这是齐次方程，设，得，代入原方程得 ，分离变量积分，即得 ，即，即，这里是任意常数7解 分离变量，得到，两边积分，即得，所以通解为，这里的任意常数另有特解，及，这只须在通解表达式中允许即可，故通解为，这里是任意常数8解 分离变量，得到，两边积分，即得，得到通解，这里是任意常数9解 变形得，令，则，代入方程并分离变量得，两边积分，即得，或，回代原变量有，或，这里的任意常数另有特解满足，即，这只须在通解表达式中允许即可，故通解为，这里是任意常数10解 分离变量，得到，积分得，这里是任意常数作适当的变量变换求解下列方程（1117）11解 设，则，原方程化为，即通解为 ，这里是任意常数12解 ，由上题，注意到这里的和相当于上题的和，得到方程的通解为 ，这里是任意常数13解 由得，令就有，这是齐次方程，令，有，代入方程后分离变量，得到，回代变量得即为原方程的通解，这里是任意常数14解 令，则，代入方程得 ，分离变量并积分得，即为方程的通解，这里是任意常数15解 变形为，令，则，代入原方程得，分离变量解之得，回代原变量并变形化简，得到通解 ，这里是任意常数16解 变形为，令，则原方程化为 ，解之得，即为方程的通解，这里是任意常数17解 变形为，令，原方程变为，由，得到设，则有，再令，得到，于是，解得，逐步回代变量，得原方程的通解为，这里是任意常数18证明方程经变换可化为变量分离方程，并由此求解下列方程：（1）；（2）证明 令，则得，代入原方程得是变量分离方程（1）中，所以，分离变量求解得，即得原告方程的通解 （2）中，所以，分离变量求解得，即得原告方程的通解 19已知，试求函数的一般表达式解 变形后等式两边对求导，有 ，即 ，解得，由，得，所以20求具有性质的函数，已知存在解 因为存在，故在连续，即由，令就有，得到，令取极限，由于右边的极限为，故左边的极限存在，从而得到函数满足的方程， ，解之得 ，或由，推出，所以，21求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分解 由习题1.29（4），知曲线应满足的方程，即，分离变量解之得，或为所求的曲线22在图（2.1）所示的电路中，设伏，欧，法，而开始时电容上没有电荷，问：（1）当开关合上“1”后，经过多长时间电容上的电压伏？（2）当开关合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关从“1”突然转至“2”，试求的变化规律，并问经过多长时间伏？解 （1）由例7，将，代入，有，由，反解出，即经过约秒，电容上的电压伏（2）同样由例7，代入具体数值有，由，同样得到，即经过约秒，电容上的电压伏23求出习题1.2第9题（1）所确定的曲线，其中解 由习题1.29（1），代入得，这是齐次方程，令，则，代入得，解出即为所求曲线24证明满足习题1.2第9题（7）所给条件的曲线是抛物线族证明 由习题1.29（7），常数)，解之得，这是抛物线族，顶点在，对称轴为轴2.2 线性方程与常数变易法习题2.2求下列方程的解：1解 首先，求齐次线性方程的通解，从得到齐次方程通解，令为方程的解，代入得，即，故原方程的通解为，其中为任意常数2解 由，解出，设是原方程的解，代入原方程得，故，所以原方程的通解为，其中为任意常数3解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，得，所以通解为，其中为任意常数4为常数解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，即，所以通解为，这里为任意常数5解 由，解得，设是原方程的解，代入原方程得，所以通解，这里为任意常数6解 原方程即，这是的Bernoulli方程，令，就有，解这个一阶线性方程得通解为，即，这里为任意常数7解 由，得，令为原方程的解，代入原方程得，即，所以原方程通解为，其中为任意常数8解 变形为，把看作未知函数，看作自变量，对于及来说，这是一个线性方程先解对应的齐线性方程，得，其次把看作，即设为变形后方程的解，代入变形后的方程得，得到，从而原方程的通解为，其中为任意常数9解 先解，得，设为原方程的解，代入原方程得，即 ，所以原方程通解为，其中为任意常数10解 先解，得，设为原方程的解，代入原方程得， ，即，所以原方程通解为，这里为任意常数11解 这是的Bernoulli方程，令代入有，解这个一阶线性方程得通解为，即为原方程的通解，这里为任意常数另有特解12解 变形为，这是的Bernoulli方程，令代入有，解这个一阶线性方程得通解为，即为原方程的通解，这里为任意常数另有特解13解 变形为，这是的Bernoulli方程，令代入有，解这个一阶线性方程得通解为，即，这里为任意常数14解 设，则，代入原方程得，这是的Bernoulli方程，令代入有 ，解这个关于的一阶线性方程得通解为，回代原变量得原方程的通解，其中为任意常数15解 变形为，把看作未知函数，看作自变量，对于及来说，这是一个的Bernoulli方程令，有，解这个一阶线性方程得通解为，即得原方程的通解，这里为任意常数16解 两边求导得一阶线性方程，解之得通解，从原方程知道有初始条件，代入通解表达式中得，故原积分方程的解为17设函数于上连续，存在且满足关系式，试求此函数解 由于，且存在，故在该式中令取极限就有，解得若，则是解；若不恒为零，则由得，由此得，所以18如图所示的电路，试求：（1）当开关合上10秒后，电感上的电流；（2）合上10秒后再将合上，求合上20秒后，电感上的电流解 （1）由Kirchhoff第二定律得，把，代入得到微分方程，初始条件时，解之得，当时，约为5安培（2）由Kirchhoff第二定律得，其中，代入得，初始条件时，解之得，当时，约为7.5安培19试求图示的电路电感上电流的变化规律，并解释其物理意义，设时，解 由Kirchhoff第二定律得，即，初始条件为，求出其通解为，其中，由初始条件得，所以，其物理意义是：当增大时，第一项逐渐衰减而趋于零（称为暂时电流），事实上很快就消失而不起作用而第二项就起着重要作用（称为稳定电流）稳定电流是一个周期函数，其周期与电动势的周期相同，而相角相差20试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数；（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解证明 （1）设，是方程（2.28）的任意两个解，即，由此得到，所以是齐线性方程（2.3）： 之解（2）由于是（2.3）的非零解，故，而是（2.28）的解，即，所以，所以是（2.28）的解，其中含有一个任意常数，故是方程（2.28）的通解，其中为任意常数（3）设，都是方程（2.3）的解，即， ，因此有，所以，方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解21求解习题1.2第9题（5）和（6）解 （5）的方程为 ，或变形为，这是一阶线性方程先解对应的齐次方程，得到，设原方程的解为，代入原方程得，即，故所求曲线方程为，其中为任意常数（6）的方程为 ，或变形为，这是一阶线性方程同样先解对应的齐次方程，得到，设原方程的解为，代入原方程得，即，故所求曲线方程为，其中为任意常数22求解下列方程：（1）；（2）；（3）解 （1）先解，得，设方程的解为，代入方程得，推出为原方程的通解（需分，及三种情形分别求解后再统一），这里为任意常数（2）先解，得到，设原方程的解为，代入原方程得 ，即，所以原方程的通解为，这里为任意常数（3）先解，得到，设原方程的通解为，代入原方程得，即，所以通解，这里为任意常数2.3 恰当方程与积分因子习题2.3验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解：1证明 ，所以，即所给方程是恰当方程改写方程为，即，得原方程的解为，其中为任意常数2证明 ，所以，即所给方程是恰当方程改写方程为，即，得原方程的解为，其中为任意常数3证明 ，所以，即所给方程是恰当方程改写方程为 ，凑为 ，即，得原方程的通解为，其中为任意常数4证明 ，所以，即所给方程是恰当方程改写方程为，即，得原方程的解为，其中为任意常数5证明 由于， 所以，即所给方程是恰当方程改写方程为 ，即，得原方程的解为，其中为任意常数求下列方程的解：6解 改写方程为，即，所以得到原方程的通解，这里为任意常数7解 由于，故因为 只与有关，所以方程有只与有关的积分因子，以乘方程两边得，即，故得原方程的通解为，这里为任意常数8解 改写为，凑微分得，得原方程的通解，其中为任意常数9解 以除方程两边，有，即，得到原方程的通解为，这里为任意常数10解 改写为，得，即，所以得到原方程的通解，或，其中为任意常数11解 由，得，由于与无关，故方程有只与有关的积分因子，以乘方程两边有，分组得，凑微分得，即得方程的通解为，这里为任意常数12解 由，得，由于只与有关，故方程有积分因子，以乘方程两边并组合变形有，即，得到方程的通解为，或，这里为任意常数13解 改写为，显然有积分因子，故以乘方程两边有，即，得到通解，其中为任意常数14解 改写为 ，即 ，或，所以原方程的通解为，其中为任意常数15解 ，则，由于与无关，故方程有积分因子，以乘方程两边并分项组合有，或写为，即，也即，故，得到方程的通解为，这里为任意常数16解 改写方程为 ，可看出是一个积分因子，用它乘方程两边有，分项组合就有，故方程的通解为，其中为任意常数17试导出方程分别具有形为和的积分因子的充要条件解 设是的积分因子是恰当方程应为的函数又设是的积分因子是恰当方程18设及连续，试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分分子证明 “”即例4“” 若方程有反依赖于的积分因子，则仅与有关，所以，其中是的任意连续函数从而方程为，即是线性方程19试证齐次方程当时有积分因子证明 将方程两端同乘以，得，即设，则，从而，或，这是可分离变量方程，取积分因子，则有，得到通解为，其中为任意常数积分因子为，通解可写为，为任意常数20设函数，连续、可微且，试证方程有积分因子证明 以乘以方程两边，有，或，即 ，因而方程有积分因子21假设方程（2.43）中的函数满足关系其中分别为和的连续函数，试证方程（2.43）有积分因子证明 因为 ， ，所以，即，从而方程是恰当方程，故方程（2.43）有积分因子22求出Bernoulli方程的积分因子解 Bernoulli方程为 ，以乘方程两边，并令，化为关于的一阶线性方程，后者有积分因子，从而Bernoulli方程的积分因子23设是方程（2.43）的积分因子，从而求得可微函数，使得试证也是方程（2.43）的积分因子的充要条件是，其中是的可微函数证明 “”若是方程（2.43）的积分因子，且，则，所以为（2.43）的通解，故亦是方程（2.43）的积分因子，其中是的可微函数“”设，则，由，则，得到，所以，因而存在函数，使得，由此得 ，得到24设是方程（2.43）的两个积分因子，且不恒为常数，求证（任意常数）是方程（2.43）的通解证明 由于是方程（2.43）的两个积分因子，由上题结论，其中，这里是的可微函数由于不恒为常数，故有不恒为零，由此在两边微分得，因此得到，所以是方程（2.43）的解，又中含有一个任意常数，故即（任意常数）是方程（2.43）的通解25假设第19题中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为（为任意常数）证明 由于方程是恰当的，故即是一个积分因子，而由第19题也是积分因子，且不恒为常数，所以由第24题所证结论，就知道它的通解为，为任意常数2.4 一阶隐方程与参数表示习题2.4求解下列方程：1解 解出，设，方程为，两边对求导，有，即，所以，因此得原方程的通解为（为参数），为任意常数2解 设，则，由，得，从而通解为，（为参数），为任意常数3解 设，则原方程为，两边对求导有，即，解得，所以通解为 （为参数），为任意常数4（为常数）解 解出，则原方程为，两边对求导有，或，解得，所以通解为 （为参数），为任意常数5解 设，则由，得，所以通解为 （为参数），为任意常数6解 令，则有，所以，由此解出，于是求得通解为 （为参数），或消去参数得，为任意常数习题2.5求下列方程的解：1解 原方程为，由，得到，设原方程的解是，代入原方程得出，即，因此原方程的通解为，为任意常数2解 方程两边同乘以，有，凑微分得，故得通解，这里为任意常数3解 改写为，两边乘以并凑微分得，所以，即，其中为任意常数4解 这是齐次方程设，则，代入原方程化为 分离变量求解得，即，这里为任意常数5解 变形为，这是齐次方程设，则，代入化原方程为，分离变量求解得，即，其中为任意常数6解 变形为，凑微分得，所以原方程的通解为，其中为任意常数7解 变形为，设，则，代入原方程后得，解之得，即，这里为任意常数8解 这是的Bernoulli方程令，有，解这个一阶线性方程，得，即，这里为任意常数9解 先解，得到，设原方程的解是，代入原方程后得，所以，得到是原方程的通解，这里为任意常数10解 设，则，两边对求导得，从中就可解出，所以通解为 （为参数），为任意常数11解 改写并分项组合，有，凑微分，得，所以，是方程的通解，这里为任意常数12解 原方程即，设代入方程得，这是分离变量方程解出，即得原方程的通解为，这里为任意常数13解 设，则，仅与有关，故方程有积分因子，用它乘方程两边并分项组合有，即，所以，或是原方程的通解，其中为任意常数14解 由，解得，设原方程的解为，代入有，即，所以通解为，其中为任意常数15解 设，则，代入化原方程为，分离变量解之得，即，其中为任意常数16解 分离变量得，两边积分得通解，为任意常数17解 改写为，这是的Bernoulli方程设，则原方程化为一阶线性方程，解之得，因此得原方程的通解为，这里为任意常数18解 ，则，只与有关，故有积分因子，用它乘以方程并分项组合有，凑微分得，所以通解为，或，其中为任意常数19解 解出，设，则原方程为，两边对求导有，或，解得，所以通解为 （为参数），或消去参数，得，为任意常数另外还有，或也是解20解 令，代入方程有，即由于，所以，得到原方程的通解为 （为参数），消去参数得，其中为任意常数 21解 设，则，代入原方程化简得，分离变量求解得，即是原方程的通解，其中为任意常数22解 设，则，故为恰当方程由于，其中是的待定可微函数，再由，得到，即有，因此得到方程的通解为，即，这里为任意常数23解 变形为，看出有积分因子，用乘以方程两边并凑微分得，即得方程的通解是或，这里为任意常数24解 变形为，看出有积分因子，用它乘以方程两边并凑微分得，得方程的通解是，或其等价形式，其中为任意常数25解 设，则，两边对求导有，即，由此得到，所以方程的通解为 （为参数），为任意常数26解 设，则，与无关，所以方程有积分因子，以之乘方程的两边，分项组合得到，即，所以得方程的通解，这里为任意常数27解 设，则，原方程变为，这是变量分离方程，解之得，即，其中为任意常数另有特解，即28 （提示：令）解 令，则，代入方程得，这是的Bernoulli方程设，则原方程化为一阶线性方程，解之得，即，因此得为原方程的通解，这里为任意常数29解 设，则，代入方程就有，解得，即为原方程的通解，这里为任意常数30解法一 变形为，这里，由于，所以方程为恰当方程分项组合，即，故原方程的通解是，其中为任意常数解法二 变形后凑微分得，令，则原方程化为由解得，再令，则方程化为，这是齐次方程令，则，代入方程得，解出，回代变量并化简就有是原方程的通解，其中为任意常数31 （提示：令）解法一 设，代入方程有，得，即，或是原方程的通解，这里是任意常数另有特解解法二 改写方程为，这里，而仅与有关，故求得方程的一个积分因子，用它乘方程两边得，其中是的待定可微函数，再由，得到，所以，原方程的通解为，或变形为，这里是任意常数另有特解32 （提示：令）解 令，代入方程得，解这个变量分离方程得，即为原方程的通解，其中为任意常数33求一曲线，使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标解 与习题1.2第9题（5）类似可得曲线上任一点坐标满足的方程，即，显然，解之得曲线方程，为任意常数34摩托艇以5米/秒的速度在静水上运动，全速时停止了发动机，过了20秒后，艇的速度减至米/秒确定发动机停止2分钟后艇的速度假定水的阻力与艇的运动速度成正比例解 设摩托艇停止发动机时刻为，速