DSP 第2章 时域离散信号和系统的频域分析.ppt

第2章时域离散信号和系统的频域分析 2 1引言2 2序列的傅里叶变换的定义及性质2 3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2 4时域离散信号的傅里叶变换与模拟信号傅里叶变换之间的关系2 5序列的Z变换 2 1引言 信号和系统的分析方法有 时域分析方法频率分析方法1 模拟领域 信号用连续时间t的函数表示 系统用微分方程描述 用拉氏变换或傅里叶变换进行频域分析 2 时域离散 信号用序列表示 系统用差分方程描述 用Z变换或序列的傅里叶变换进行频域分析 2 2序列的傅里叶变换的定义及性质 2 2 1序列傅里叶变换的定义1 定义 2 2 1 为序列x n 的傅里叶变换 用FT FourierTransform 表示 2 2 2 FT成立的充分必要条件是序列x n 满足绝对可和的条件 即满足下式 2 FT的反变换 用乘 2 2 1 式两边 并在 内对 进行积分 例2 2 1设x n RN n 求x n 的FT 解 R4 n 的幅度与相位曲线 N 4时幅度与相位随 变化曲线如下图 2 2 2序列傅里叶变换的性质1 FT的周期性 M为整数 序列的傅里叶变换是频率 的周期函数 周期是2 2 线性 则 若 2 2 7 式中a b为常数 4 FT的对称性 1 共轭对称序列与共轭反对称序列1 共轭对称序列 设序列 结论 共轭对称序列的实部是偶对称序列 偶函数 而虚部是奇对称序列 奇函数 则 则 由定义有 2 共轭反对称序列 设序列 结论 共轭反对称序列的实部是奇对称序列 奇函数 而虚部是偶对称序列 偶函数 同理可得 解 将x n 的n用 n代替 再取共轭得到 x n ej n因此x n x n 则x n 是共轭对称序列 若展成实部与虚部有x n cos n jsin n表明 共轭对称序列的实部是偶函数 虚部是奇函数 例2 2 2试分析的对称性 2 任意序列可表示成xe n 和xo n 之和 则有 将n用 n代替 再取共轭 得到 其中 同样 x n 的Fourier变换也可分解成 共轭对称分量 共轭反对称分量 a 将序列x n 分成实部xr n 与虚部xi n 式中 3 FT的对称性 将上式进行FT 得到 其中 都是实数序列 满足 具有共轭对称性 它的实部是偶函数 虚部是奇函数 满足 具有共轭反对称性 它的实部是奇函数 虚部是偶函数 结论 b 将序列分成共轭对称和共轭反对称 将两式分别进行FT 得到 由于 因此 对进行FT得到 结论 序列x n 的共轭对称部分对应FT的实部序列x n 的共轭反对称部分对应着FT的虚部 对称性质总结 序列FT 4 实因果序列h n 的对称性由于h n 是实序列 其FT只有共轭对称部分 共轭反对称部分为零 因此实序列的FT的实部是偶函数 虚部是奇函数 即 因为h n 是实因果序列 因此he n 和ho n 可表示为 he n 和ho n 的表示方法 实数序列的对称性质 序列FT 例2 2 3x n anu n 0 a 1 求其偶函数xe n 和奇函数xo n 解 图2 2 3例2 2 3图 5 时域卷积定理 证明 该定理说明 1 两序列卷积的FT 服从相乘的关系 2 对于LSI系统 输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT 3 求系统的输出信号y n 可先求出输出的FT 再作逆FT 6 频域卷积定理 7 帕斯维尔 Parseval 定理 信号时域的总能量等于频域的总能量 这里频域总能量是指在一个周期中的积分再乘以1 2 表2 2 1序列傅里叶变换的性质 2 3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式 2 3 1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列 由于是周期性的 可以展成傅里叶级数 2 3 1 式中是傅里叶级数的系数 为求系数 将上式两边乘以 并对n在一个周期N中求和 上式中 k和n均取整数 当k或者n变化时 是周期为N的周期函数 可表示成 取整数 2 3 2 补充证明 2 3 2 令 并将代入 得到 0 k N 1 2 3 4 上式中也是一个以N为周期的周期序列 称为的离散傅里叶级数 用DFS DiscreteFourierSeries 表示 两端同乘 并对k在一个周期中求和 得到 同样 按照 得到 2 3 5 一对DFS 例1 设x n R4 n 将x n 以N 8为周期 进行周期延拓 得到如图所示的周期序列 周期为8 求的DFS 2 3 2周期序列的傅里叶变换表示式在模拟系统中 其傅里叶变换是在 o处的单位冲激函数 强度是2 即 2 3 8 对于时域离散系统中 x n ej on 2 o为有理数 n取整数 下式成立 取整数 因此ej 0n的FT为 2 3 9 图2 3 2的FT 2 3 10 表2 3 2基本序列的傅里叶变换 例1 设x n R4 n 将x n 以N 8为周期 进行周期延拓 求其FT 解 将代入下式中得到 图2 3 3例2 3 2图 其幅频特性如下 FT 用单位冲激函数表示 DFS 用单位脉冲序列表示 例2 设 将x n 以N 4为周期进行延拓 求其离散傅立叶级数DFS和傅立叶变换FT 2 5序列的Z变换 2 5 1Z变换的定义 一 序列x n 的Z变换定义为 z是一个复变量 它所在的复平面称为z平面 双边Z变换 单边Z变换 2 收敛充要条件 X z 绝对可和 二 收敛域Roc与零极点 1 定义 使X z 收敛的所有z值集合称作X z 的收敛域 收敛域一般用环状域表示 3 可用两个多项式之比表示Z变换 三 FT与ZT的关系 表示在z平面上r 1的圆 即单位圆 例1已知x n u n 求其Z变换 z 1 解 X z 存在的条件是 因此收敛域为 z 1 1 有限长序列 有限z平面 2 5 2序列特性对收敛域的影响 有限长序列x n 值本身是有限的 因此只要满足z n有界的所有z值就构成了收敛域 因果序列的收敛域包括 结论 如果n10 则收敛域不包括z 0点 如果是因果序列 收敛域包括z 点 n10时 00时 0 z 2 右边序列 收敛域一定是某个圆的外部 因果序列 是n1 0的右边序列Roc 因果序列的z变换必在 处收敛在 处收敛的z变换 其序列必为因果序列 3 左边序列 4 双边序列 其收敛域应包括即充满整个Z平面 例6 求序列的Z变换及收敛域 解 这相当于n1 n2 0时的有限长序列 给定z变换X z 不能唯一地确定一个序列 只有同时给出收敛域才能唯一确定 X z 在收敛域内解析 不能有极点 故 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内 1 定义 已知X z 及其收敛域 反过来求序列x n 2 5 3逆Z变换 2 逆Z变换的三种求法 留数法 幂级数法 长除法 部分分式展开法 1 留数法如果X z zn 1在围线c内的极点用zk表示 根据留数定理 式中表示被积函数X z zn 1在极点z zk的留数 逆Z变换则是围线c内所有的极点留数之和 当Zk为N阶 多重 极点时的留数 当Zk为一阶极点时的留数 若F z 在c外有N2个极点z2k 且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上 则 若F z 在c内有N1个极点z1k 则 利用留数辅助定理求多重极点时的留数 令 例1已知X z 1 az 1 1 z a 求其逆Z变换x n 解 表2 5 1常见序列Z变换 2 5 4z变换的基本性质与定理 1 线性若 则 2 序列的移位 则 若 3 乘以指数序列 则 证 若 4 序列乘以n z域求导数 则 同理 若 5 复序列取共轭 若 则 证 6 翻褶序列 若 则 7 初值定理 证 因为x n 为因果序列 8 终值定理 设x n 为因果序列 且X z ZT x n 的极点处于单位圆以内 单位圆上最多在z 1处可有一阶极点 则 9 序列卷积 时域卷积和 设y n 为x n 与h n 的卷积和 则 且 例2已知单位取样响应h n anu n a 1 输入序列x n u n 求输出序列y n 解 方法一直接求解线性卷积 y n h n x n 由收敛域判定y n 0 n 0 n 0y n Res Y z zn 1 1 Res Y z zn 1 a 将y n 表示为 方法二Z变换法 10 序列相乘 z域复卷积定理 了解 若 则 且 11 Parseval定理了解 若 则 且 2 5 5利用Z变换解差分方程设N阶线性常系数差方程为 1 对差分方程进行单边z变换 2 由z变换方程求出响应Y z 3 求Y z 的反变换 得到y n 1 求稳态解如果输入序列x n 是在n 0以前 时加上的 n时刻的y n 是稳态解 对上式求Z变换 得到 式中 ZT 2 求暂态解对于N阶差分方程 求暂态解必须已知N个初始条件 设x n 是因果序列 即x n 0 n 0 已知初始条件y 1 y 2 y N 设 按照上式 对进行单边Z变换 例已知差分方程y n by n 1 x n 式中x n anu n y 1 2 求y n 解 将已知差分方程进行Z变换 收敛域为 z max a b 式中第一项为零输入解 第二项为零状态解 第二章习题讲解 2 1求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域 解 零点 极点 1 收敛域 解 2 零点 极点 收敛域 2 2假如的z变换代数表示式是下式 问可能有多少不同的收敛域 它们分别对应什么序列 解 对的分子和分母进行因式分解 得 1 2 3用长除法 留数定理 部分分式法求以下的z反变换 由Roc判定x n 是右边序列 用长除法展成z的负幂级数 分子分母按z的降幂排列 留数法 当时 在围线c内只有一个单阶极点 部分分式法 查表由 2 由Roc判定x n 是左边序列 用长除法展成z的正幂级数 分子分母按z的升幂排列 留数法 当时 只