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第四章恒定磁场 SteadyMagneticField 恒定磁场基本方程 分界面上的衔接条件 序 磁感应强度 磁通连续性原理 安培环路定律 磁矢位及边值问题 磁位及边值问题 导体中通有直流电流时 在导体内部和它周围的媒质中 不仅有电场还有不随时间变化的磁场 称为恒定磁场 恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场 但在分析方法上却有许多共同之处 学习本章时 注意类比法的应用 4 1磁感应强度 4 1 1安培力定律 安培力定律描述了真空中两个电流回路间相互作用力的规律 式中 为真空中磁导率 C1上电流元对C2上电流元磁场力为 1 两个电流元的相互作用力 安培定律的微分形式 讨论 dF12 dF21 这与库存仑定律不同 这是因为孤立的稳恒电流元根本不存在 仅仅是数学上的表示方法而已 2 两个电流环的相互作用力在回路C1上式积分 得到回路C1作用在电流元I2dl2上的力 再在C2上对上式积分 即得到回路C1对回路C2的作用力 安培定律的积分形式 4 2 2磁感应强度矢量 毕奥 萨伐尔定律 定义为电流元产生的磁感应强度 说明 三者满足右手螺旋关系 对毕奥 萨伐尔定律的讨论 真空中任意电流回路产生的磁感应强度 体电流产生的磁场体电流可以分解成许多细电流管 近似地看成线电流 此时有I JdS 则电流元为 得 面电流产生的磁场 运动电荷的磁场定向流动的电荷形成电流 设某区域电荷密度为 速度v 将形成电流密度J v 则电流元为Idl JdV v dV qv 得 例求有限长直线电流I的磁感应强度 解 在导线上任取电流元Idz 其方向沿着电流流动的方向 即z方向 由比奥 萨伐尔定律 电流元在导线外一点P处产生的磁感应强度为 其中 当导线为无限长时 1 0 2 结果分析 例 求半径为a的电流环在其轴线上产生的磁场 解 建立如图柱面坐标系 在电流环上任取电流元 令其坐标位置矢量为 易知 4 2 1磁通连续性原理与磁场的散度 设B是由直流回路c产生的磁感应强度 S为一闭合曲面 则磁感应强度B穿过S的通量为 因为 得 穿过任意闭合曲面的磁通量恒为零 由 得 4 2磁通连续性原理 安培环路定律 4 2 2安培环路定律与磁场的旋度 得 设B是由直流回路c产生的磁感应强度 为一闭合曲线 则磁场强度B沿的环流为 式中是S的周界 R c 经分析计算该积分结果为 真空中磁场的基本方程 例半径为a的无限长直导体通有电流I 计算导体内外的磁感应强度 解 由题可知 磁场分布是成空间轴对称的 由基本方程 在导线内电流均匀分布 导线外电流为零 则 r a r a r a r a r a r a 恒定磁场 由已知电流分布求磁场 主要求解方法 1 直接应用磁场的计算公式求解 主要用于计算一些比较简单的电流分布在空间某些特殊位置的磁场 比如直导线 圆导线等 2 应用安培环路定律求解 主要用于磁场分布具有某种空间对称性的求解问题 这种求解方法最简单 4 3 1物质的磁化现象与磁化强度 媒质的磁化产生的物理现象和分析方法与静电场媒质的极化类同 无外磁场作用时 媒质对外不显磁性 分子电流 电流方向与方向成右手螺旋关系 分子磁偶极矩 在外磁场作用下 磁偶极子发生旋转 旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致 对外呈现磁性 称为磁化现象 4 3磁介质中磁场的基本方程 用磁化强度M表示磁化的程度 即 式中 N为单位体积内被磁化的分子数 A m 磁化体电流 由于磁偶极子的定向排列 媒质内部出现磁化体电流 媒质表面出现磁化面电流 如在磁化介质中的体积元 V内 每一个分子磁矩的大小和方向全相同 单位体积内分子数是N 则磁化强度为 引入磁化电流后 媒质的磁化效应由磁化电流表征 即空间的磁场由传导电流和磁化电流产生 而磁化电流和传导电流的实质相同 则 得 于是磁介质中的基本方程 微分形式 式中均为传导电流 4 3 2磁介质中磁场的基本方程 由实验证明 除铁磁性物质外 M和H之间有一定的线性关系 即 得 为磁介质中的本构关系 最终磁介质中的基本方程是 例同轴线的内导体半径为a 外导体的内半径为b 外半径为c 如图所示 设内 外导体分别流过反向的电流I 两导体之间介质的磁导率为 求各区域的H B M 同轴线示意图 例铁质的无限长圆管中通过电流I 管的内外半径分别为a和b 已知铁的磁导率为 求管壁中和管内外空气中的B 并计算铁中的M和等 解 如图建立坐标系 设电流沿z方向 则场分布是轴对称的 只有分量 利用基本方程的积分形式 有 a b c 在 区的管壁空间内 磁化强度为 管壁内的磁化体电流为 在r a和r b处的磁化面电流为 4 3 3恒定磁场的边界条件 一 磁感应强度B的边界条件 设两种不同的磁介质 其分界面的法线方向为n 在分界面上作一小圆柱形表面 两底面分别位于介质两侧 底面积为 h为无穷小量 将磁场基本方程用于所作的圆柱形表面 方程左边 磁感应强度B的边界条件 用矢量表示 分界面上B的法向分量连续 二 磁场强度H的边界条件 在分界面上作一小的矩形回路 其两边分居于分界面两侧 而高 取H沿此回路的环积分为 设分界面上的自由电流面密度为 则回路所围面积上通过的电流为 其中的方向为回路所围面积的法线方向 矢量可写为 方程变为 因为回路是任意的 其所围面的法向也是任意的 因而有 磁场强度H的边界条件 若分界面上没有自由的表面电流 矢量恒等式 例 在恒定磁场中 若两种不同煤质分界面为xoz平面 其面上有电流面密度 已知 为射入分界面 求 根据 求出 例4 7 2如下图所示 已知无穷长电流和两种煤质的磁导率 求两种媒质中的磁感应强度 代入 为了简化磁场的求解 通常采用间接方法 由磁场的散度为零 引入矢量磁位 利用磁场的旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程 由 其单位为T m 特