第二节 试验数据的处理.ppt

第二节试验数据的处理 一 测量误差二 测量方法分类三 误差分类四 有效数字五 误差的传递 一 测量误差 在试验过程中 无论采用何种方法 由于设备 测量方法 环境 人的观察等多种因素的影响 总会或多或少的产生一些误差 测不出其真正数值 即真值 在某一时刻 某一位置 或某一状态下被测物理量的真正大小 意义 1 认识误差的性质 分析误差产生的原因 以消除和减少误差 2 正确出来测量和试验数据 合理计算所得结果 以便在一定条件下得到更接于真值的数值 3 正确组织试验过程 合理设计仪器和选用仪器和测量方法 一般在最经济的条件下得到最理想的结果 误差来源 1 设备 标准仪器 仪表2 环境 如温度 湿度 磁场 电场 振动等3 人员 如读者的观察力 分散性 应力4 方法 如采用不同模型 数值结果的不同取舍方法 截断或舍入 经验公式的取近似值等5 测量对象的变化 为了测定可靠程度 必须进行误差分析 二 测量方法的分类 1 直接测量 凡是被测参数直接与测量单位进行比较 其测量结果有可直接从测量仪表上获得的测量方法成为直接测量 如用万用表直接测量电阻 用卡尺测长度 用温度计测量温度等 如公式表示为Y XY表示未知量 X 由测量直接测得的值 可分为直读法和比较法 直读法 直接从测量仪表上读得被测结果 如压力表等 其特点是使用方便 但一般精度比较差 如用万用表直接测量电阻 用卡尺和螺旋测微计测量长度 用天平称质量等 比较法 一般不能直接从测量仪表上直接读得测量结果 而需要使用标准量具 因此测量手续比较麻烦 但是仪表本身的误差一级其他误差则往往在测试过程中被抵消 因此 因此测量精度一般比直读法高 如利用电位差计来测量热电偶在测量时产生的热电势大小 零示法 用热电偶温度计测量温度t时 从仪表得到的是被测温度t与热电偶冷端温度t之差 差值法 2 间接测量 不直接测量被测结果 未知量需通过一定的公式或测量与被测变量的一定关系的其他物理量 通过简单的函数关系计算而得 用式子表示为Y F X1 X2 Xn X1 X2 Xn表示各函数直接测量的数值 如测电阻通过测量电压U和电流I后计算而得 弹模E P L A L 测得 强度R P kN A mm2 测量风道中的空气流量Q S m2 截面积 C m s 空气流速 等 这种测量应用最为广泛 在同等精度仪器下 其系统误差大于直接测量 3 总和测量 需通过求解联立方程组来求未知量 如R 砼强度N 回弹值A B系数 三 误差分类 产生误差的原因有很多 按照最基本的性质误差可分为三大类 系统误差 随机误差和疏失误差 按照误差的计算方法 有绝对误差与相对误差之分 1 系统误差 顾名思义为由测试系统产生的误差 这种误差一般恒定不变或遵循一定的规律而发生变化 是指在同一条件下 多次测量同一量时 误差的绝对值和符号保持恒定 或在条件改变时 按某一确定规律变化的误差 一般来源于仪器设备 测量误差 方法位置等 人员观察力 我们只有通过使用更精密更准确的仪器来减少由测试工具即产生的误差 尽量同一人员测定减少 使用正确的方法并尽量减少中间环节 改善实验条件等方法 一般而言测量的准确度是由系统误差来表征 2 随机误差 也叫偶然误差 其数值大小与性质具有随机性 无规律且不固定的误差 称之为随机误差 一般服从正态分布 其具体产生原因尚不完全清楚 可通过多次测量取平均值来减少随机误差 一般而言 测量的精密度是随机误差弥散程度的表征 系统的随机误差减小 表示测量结果越精密 3 疏失误差 主要由操作者的失误引起的 如操作错误 读数错误 计算错误等 这种测量结果是错误的 属于疏失误差的错误是应该去掉的 通常用3 表示 3 之外的数据即属于疏失误差 是可以避免的 绝对误差 绝对误差表示所测定测与真实值大小之间的差异 有正负之分 既表明偏离的大小 又指明了偏离的方向 一般带有单位 彼此间无法比较 绝对误差 测量值 真实值 即X 真实值 绝对误差限 x x 含有误差的任何近似位数 其绝对误差 最末位 感量或精度 的半个单位 如测量某质量 用天平称量 感量0 1g 最大绝对误差为 0 1 2 0 05 如通过精度为1mm的直尺测得一物体长度为20mm 则x 20 0 5mm由于真实值常常无法测量 所以常常采用最大绝对误差 相对误差 相对误差是指绝对误差与真值相比所得百分数 具有可比性 在具体测量中常采用最大相对误差 er 绝对误差 真实值 绝对误差 测量值表示测量的精度 最大相对误差越小 表示测量越精确 平均值 标准差 变异系数 三个参数反映随机变量的最重要的特征数1 一般情况下 其物理量的真值是无法测得的 只能得到一个近似值 要设法找出一个可以用来代表真值的最佳值 通常取多个测定值的平均值来得到 1 平均值 a 算术平均值或简单平均值计算当n 时 即观测次数越多 n越大 其平均值越接近真值 平均值的计算应首先去掉疏失误差 根据3 原则 3 之外的数据去掉后取剩余值的平均数 在具体的实验中 3 取值不相同 如混凝土的抗压 抗折3 15 水泥抗折为10 砂浆为20 均方根平均值和加权平均值 b 均方根平均值的计算C 加权平均值 2 误差 a 级差 试验中最大和最小值之差 表示数据离散范围 用来度量数据的离散性 w xmax xminb 或然误差 在一组测量中 如果不计正负号 误差大于 的测量值与小于 的测量值将各占测量次数的一半 与标准误差的关系为 0 6745 c 算术平均误差 严格讲来为偏差 不能反映测量值的分布 d 标准差 均方差 方差 观测值与平均值之差的平方和的平均值 用符号 2表示方差的平方根称为标准差 均方差 用 表示 标准差反映了一组测定值的变异情况 标准差愈大 表示其观察值的变异性也愈大 表示当n 时的标准差 而实际中测量次数有限 可用S表示应用时 S 均可用 但多数情况下用S 其中n 1称为自由度 当n 时n 1 n1 变异系数 离散系数 标准差 或S 只是反映数据波动的大小 反应其绝对误差 在实际中更关心其相对误差 或 GB107 87砼强度检验评定标准 建工系统 用 评定 水电部用Cv评定 三 有效数字 定义 如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单位 即 0 5 10 n 且该位直到x的第一位非零数字一共有n位 则称近似值x具有n位有效数字 如x用科学计数法表示成x a1 10 1 an 10 n 10m则如 的近似值取x 3 14有三位有效数字 取x 3 1416有5位有效数字 取x 3 1415则为4为有效数字 四 误差的传递 一 直接测量中是没有误差传递的测量结果只是一个近似数 准确数字 最末一位欠准数字 测量结果的精度与所用测量方法和测量仪器有关 在记录或者数据运算时不能超过测量方法和仪器所能达到的最大精度 数据的运算规则 四舍六入五单双 单进双不进 在近似数的运算中 为了保证最后结果尽可能高的精度 所有参与运算的数据 在有效数字后要多保留一位数字作为参考数字 或者称为安全数字 如加减 乘除运算中 各运算结果以小数位数最少的数据位数为准 其余各数据可多取一位小数 但最后结果应与小数位数最少的数据相同 2463 4 987 7 4 187 0 2354 2463 4 987 7 4 19 0 24 3635 13 3635 115 13 4 12 62 3356 62 34 但是在一个复杂的运算中 除不尽的除法进行的越早或者运算的次数越多则累计产生的误差越大 如a 100 b 3 c 166 5 d 5 其结果应取一位小数 求E 106 a b c d 解1 先计算a b和c d取一位小数得E 0解2 E 106 ad bc bd 33333 3所以在运算中应尽量避免和减少除不尽的除法运算 在不可避免时 应尽可能安排或推迟到运算的最后一步中 二 间接测量 在间接测量中 由于其未知量是通过一定的公式或关系计算而得 在公式 或关系 中的各个量之间的最大相对误差可能并不相同 通过公式或关系必然会给新测未知量带来误差即误差具有传递性 但彼此之间具体是怎样传递的呢 设所求未知量Y与量X1 X2 Xn的关系为Y f X1 X2 Xn 其误差的传递就是指自变量X1 X2 Xn的误差来求函数y的误差 通过偏微分方法求 设x1 x2 y 为准确值 x1 x2 y为近似值 xi的变化量为e xi xi xi er xi xi xi xi 则y的绝对误差为e y y y f x1 x2 f x1 x2 作一阶Taylor展开 近似e y er y 或 公式 由上可得绝对误差 e x1 x2 e x1 e x2 e x1 x2 e x1 e x2 e x1 x2 x2e x1 x1e x2 e x1 x2 e x1 x2 e x2 x1 x22相对误差 er x1 x2 x1er x1 x1 x2 x2er x2 x1 x2 er x1 x2 x1er x1 x1 x2 x2er x2 x1 x2 er x1 x2 er x1 er x2 er x1 x2 er x1 er x2 同样 标准误差的传递公式为y x U Z W SN 二 误差传递公式的应用 一般而言 用百分数表示为相对误差 带有数值如 kg m3等为绝对误差 但最大绝对误差为正负位值的一半 例1 水泥密度 m v用天平称量 感量0 1g 最大绝对误差为 0 1 2 0 05g 比重瓶 感量0 1cm3 最大绝对误差为 0 1 2 0 05cm3 如称得m 59 30g V 19 73cm3求体积 相对误差er 和绝对误差e 一种方法 先求相对误差 再求绝对误差 0 08 0 25 0 33 e er 3 01 0 33 0 01g cm3 另一种先求绝对误差 后求相对误差g cm3 例2抗压强度计算 测得P 29 85kN 精度为0 1kN d 30mm 精度0 02 卡尺 3 14 求抗压强度及其相对误差和绝对误差 间接测量的特点 例 在一线路中 测量得电流I 10 0 0 3A 电阻R 10 0 0 3 电压V 100 0 3V 球消耗电源的功率P 解 可用三种方法求得电功率 由上可知 1 为了测量某一被测量 可通过不同方法不同途径来测量2 由于测量方法不同 尽管各测量的相对误差相同 可是最终形成的被测量的误差却不相同 因此选择时应注意使最终误差最小的方案 这样我们就可以在满足允许误差的情况下选择准确度稍差的仪表 3 通过函数关系来计算被测量的数值时 由于每一个直接测量对被测量的影响是不相同的 我们就应把注意集中降低对被测量的误差最终影响最大的物理量上 如方案二中 分别将电流和电阻的误差改为 补充作业 1 取按A x1 x2和A 0 01 x1 x2 两种算法求A值 并分别求出两种算法所得近似值的绝对误差和相对误差 且两种结果各有几位有效数字 例 计算100 解 记x1 100 x2 x1 100 x2 99 974997 e x1 0 e x2 0 5 10 6 即X1是精确的 x2具有8位有效数字 A x1 x2 5 x1 x2 第一种方法 x1 x2 x1 x2 100