一线名师指点08高考同步辅导第6讲 函数的定义域、值域(最大、最小值).doc

一线名师指点08高考同步辅导第6讲: 函数的定义域、值域（最大、最小值）【考点回放】由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练1求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知求或已知求：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）满足某个等式，这个等式除外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等2求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知的定义域求的定义域或已知的定义域求的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知的定义域，其复合函数的定义域应由解出3求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0时，值域为配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；分式转化法（或改为“分离常数法”）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域逆求法（反求法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：【考点解析】1函数y=的定义域为_，值域为_答案：1，2 ，0，2函数y=的值域是A1，1 B（1，1 C1，1） D（1，1）解法一：y=11+x21，021y1解法二：由y=，得x2=x20，0，解得1y1解法三：令x=tan（），则y=cos22，1cos21，即1y1答案：B3. 求下列函数的最大值或最小值：（1） ；（2）；（3）解：（1），由得，当时，函数取最小值，当时函数取最大值（2）令，则，当，即时取等号，函数取最大值，无最小值（3）解法（一）用判别式法：由得，若，则矛盾， ，由，这时，解得：，且当时， 函数的最大值是，无最小值解法（二）分离常数法：由， ，函数的最大值是，无最小值4.（1）函数在上的最大值与最小值的和为，则 2 （2）对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为（3）已知函数，构造函数，定义如下：当时，当时，那么（ ）有最小值，无最大值 有最小值，无最大值有最大值，无最小值 无最小值，也无最大值5（2006年广东卷）函数的定义域是 A. B. C. D. 解析：由，答案：故选B.6（2006湖北卷）设，则的定义域为A B C D解析：f（x）的定义域是（2，2），故应有22且22解得4x1或1x4故选B7（2006湖南卷）函数的定义域是( )A.(3,+) B.3, +) C.(4, +) D.4, +)解析：函数的定义域是，解得x4，选D.8（2006湖南卷）函数的定义域是 A(0,1B. (0,+)C. (1,+)D. 1,+)解析:函数的定义域是，解得x1，选D.9（2006全国II）函数f(x)的最小值为（A）190 （B）171 （C）90 （D）45解析:表示数轴上一点到1,2,319的距离之和,可知x在119最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.10.( 2006陕西卷)函数f(x)= (xR)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,1解析：函数f(x)= (xR)， 1，所以原函数的值域是(0，1 ，选B.11.( 2006重庆卷)设，函数有最大值，则不等式的解集为 。解析：设，函数有最大值，有最小值， 0a1， 则不等式的解为，解得2x1，所以不等式可化为x11，即x2.【考点演练】考点1、定义域1已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ） 解法要点：，令且，故2.函数，的定义域为_3设函数 DA(1，1) B(1，+) C D4命题p：若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充要条件。 命题q：函数y=的定义域是（-，-13，+.则（A）“p或q”为假 （B）“p且q”为真 （C）p真q假 （D）p假q真5若函数y=f(2x)的定义域是1，2，则函数f(的定义域是 （B）A1，2 B4，16 C0，1 D2，4考点2、值域1求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；（7）； （8）； （9）解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法），的值域为2.求函数，的值域解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为 又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为（8），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略3若关于的方程有实数根，求实数的取值范围解：原方程可化为，令，则，又在区间上是减函数，即，故实数的取值范围为：l 方法小结： 求函数的值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等 考点3、求函数的最大值或最小值(列举分析)1求下列函数的最大值或最小值：（1） ；（2）；（3）解：（1），由得，当时，函数取最小值，当时函数取最大值（2）令，则，当，即时取等号，函数取最大值，无最小值（3）解法（一）用判别式法：由得，若，则矛盾， ，由，这时， 解得：，且当时， 函数的最大值是，无最小值解法（二）分离常数法：由， ，函数的最大值是，无最小值2.函数的最大值为 16 ；3若，则的最大值是 6 ；4若则的最小值是；5，在和 上是单调递减函数，则的最大值为考点4、最值的应用1函数在上的最大值与最小值的和为，则 2 2.对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为3.已知函数，构造函数，定义如下：当时，当时，那么 （ ）有最小值，无最大值 有最小值，无最大值有最大值，无最小值 无最小值，也无最大值l 方法小结：1函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异； 2无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此3导数也是经常考虑的方法。【题型讲解】例1已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) ; (2)分析：x的函数f(x)是由u=x与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量由于f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知0u2，即0x2求x的取值范围解：(1)由0x2， 得 说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出f(x)的解析式，由f(x)的定义域求函数fg(x)的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法(2)是二种类型的综合求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到例2已知函数的定义域为，函数的定义域为，则 解：，令且，故,故选取例3求下列函数的值域 y=3x+2(-1x1) 解：-1x1，-33x3，-13x+25，即-1y5，值域是-1，5 即函数的值域是 y| y2 即函数的值域是 y| yR且y1（此法亦称分离常数法）当x0，=，当x0时，则当时，其最小值；当a0）时或最大值（a1/3 B-12a0 C-120,求f(x2)的定义域； (2)已知函数f(2x)的定义域为1,2,求f(log2x)的定义域5已知函数f(x)的定义域为0,1,g(x)=f(x+a)+f(x-a),求函数g(x)的定义域6设f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x) (1)求函数f(x)的定义域；(2)f(x)是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由7某宾馆有相同标准的床位100张根据经验，当该宾馆每张床的床价不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高一元，将有3张床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是为方便结算，床位应为1元的整数倍；该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的支出费用后的收入），(1)把y表示为x的函数，并求出定义域；(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？8求下列函数的值域(1)y=(1-x2)/(1+x2); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx) 9求下列函数的值域：(1)y=(;(2)y=;(3)y= -10已知函数f(x)=lg(x2-2mx+m+2) (1)若f(x)的定义域为R，求实数m的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数m的取值范围11若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为-25/4,-4,则m的取值范围是 12已知f(x)的值域为3/8,4/9,试求y=f(x)+的值域13现有直径为d的圆木，要把它锯成横断面为矩形的梁，从材料力学知道，横断面为矩形的木梁强度与梁宽和梁高的平方的乘积成正比，比例系数为k问如何截法才能使梁的强度最大？14函数y=|x3|x+1|的最大值是 15已知1/2t1,则2/tt的最大值是 16函数y= x22ax(0x1)的最大值是a2,那么实数a的取值范围是 17在区间1/2,2上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+1/x2在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间1/2,2上的最大值是 参考答案：1 (1,+)2 (1) (0,2)(2,3， (2) -5,-3p/2(-p/2,p/2)(3p/2,53 C注意二次项系数为零的特殊情况4 （1）ba,b-a, b|a|,a0时，x-,a0时，x-, (2)4,165当-1/2a0时，a-a1+a,x-a,1+a; 当0a1/2时，xa,1-a;当a1/2时，g(x)不存在6 （1）1x1); (2)f(x)=log2(x+1)(p-x)=log2-(x-)2 +,当(p-1)/21,即1p3时，f(x)无最值；当1(p-1)/23时，f(x)最大值为2log2(p+1)-2,无最小值7(1)=(2)当x10时，y425;当x10,则当x=22时，y有最大值约833元8 (1) (0,1; (2) -1/2,+)9 (1)（-1/3y0时，-1y0,x0时，0y, -1y10 (1)-1m2; (2) m2或m -1 11 3/2,312（7/9,7/8,换元法13 Q=kx(d2-x2)2kd3/9, x=d/3 x为梁宽14 4,15 7/2(单调性求最值)161a0(配方法求二次函数的最值)17 4 ，平均值不等式求最值【实战演练】1函数y=的定义域是(-，1)2,5)，则其值域是 ( a )A(-，0)( ，2 B(-，2 C(-，)2，+) D(0，+)2函数y=log2x+logx2x的值域是 D A.(-，-1) B.3，+ C.-1，3 D.(-，-1)3，+3已知，那么等于（A）（B）8（C）18（D）4函数的定义域为0，1，2，3，那么其值域为 A B C D5函数的值域是 . 6若的值域是,则的值域是 . 7函数的值域为8若函数在上的最大值与最小值之差为2，则9某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等（1）将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润收入生产成本促销费）解：（1）由题设知：，且时，即，年生产成本为万元，年收入为年利润，（2）由（1）得，当且仅当，即时，有最大值当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润11、函数的最大值是（ ）CA.1 B. C. D.12、函数的最大值和最小值分别是（ ）（A）（B）1，1（C）（D）C：令则13、若=，则的最小值是 解析：14已知函数的最小值是（D）A2BCD15已知函数的最小值是A2BCD16点（a，b）在直线x + 2y = 3上移动，则2a + 4b的最小值是 （ ） A8 B6 C4 D317在函数中，若a，b，c成等比数列且，则有最_值（填“大”或“小”），且该值为_大 -318实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,那么mx+ny的最大值为 A. B. C. D.19已知是偶函数，当的最大值为m，最小值为n，则mn=120对任意的函数在公共定义域内，规定若的最大值为121已知在m,0上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 （C）A.1,2 B. -1,0 C. -2,-1 D.以上都不对22已知函数的最小值是（D