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文档简介

微积分 A 刻苦勤奋求实创新 理学院工科数学教学中心 第八章多元函数微分学 理解多元函数的极限与连续概念 以及有界闭区域上连续函数的性质 理解偏导数和全微分的概念 了解全微分存在的必要和充分条件 理解方向导数和梯度的概念 并掌握其计算方法 掌握复合函数一阶 二阶偏导数的求法 会求隐函数的偏导数和全导数 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念 会求二元函数的极值 会用拉格朗日乘数法求条件极值 会求简单函数的最大值和最小值 会解一些简单应用题 重点与难点 重点 多元函数的概念 偏导数与全微分的概念 多元复合函数的求导法则 用拉格朗日条件极值求最大值应用问题 方向导数与梯度 难点 全微分的概念 多元复合函数的求导法则 一 一个方程的情形 决定一元隐函数y f x 我们看下面的推导及应具备的条件 1 若F x y 有连续的偏导 则 这就是一元隐函数求导公式 1 和 2 就是此公式成立的条件 我们略去困难的严格数学证明 仅以定理的形式概括如下 一元隐函数的求导公式 解 令 则 解 令 则 若函数F x y 有连续的二阶偏导数 则可求出由方程F x y 0确定的隐函数y f x 的二阶导数 注 不要求直接应用此公式 二元隐函数的求导公式 决定二元隐函数z f x y 解 令 则 思路 解 整理得 整理得 整理得 另解 问题 上述方程组中视x y 为常数 视u v为未知数 理论上有解 那么在什么条件下u v作为x y的二元函数存在偏导 对此 我们不做理论证明 仅用下面两个例子说明运算原理 其过程就是理论推导过程 二 方程组的情形 解 原理 利用形式微分做如下的运算 例6用线性变换u x t v x t变换方程 解将u v看作中
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