2 时域模型.ppt

第2讲控制系统的时域模型 4学时 Time domainModelofControlSystem 机电控制工程基础ControlEngineering 上一讲回顾 基本概念自动控制系统控制系统的分类 开环 闭环 半闭环 控制系统的基本组成控制系统的性能指标 自动控发展简史自动控制在工程中的广泛应用 引言 控制理论研究的主要问题 方法 分析 综合 给定系统 分析其性质与特征 进而实现预定控制规律 给定性质和特征 设计相符合的系统 进而实现预定控制规律 引言 经典控制理论中建立数学模型的必要性 研究系统中各个物理量之间相互作用的关系及其变化规律 定量分析和设计控制系统 控制系统设计需要建立在严密的数学基础之上 采用数学工具来描述这些物理量的运动与变化之间的关系 即为建立系统的数学模型 引言 数学模型利用数学结构 表格 图形以及各种数学方程 来反映系统内部之间 内部与外部因素之间的精确的定量关系 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础 现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础 以物理定律及实验规律为依据的微分方程是最基本的数学模型 是列写传递函数和状态空间方程的基础 从系统的概念理解数学模型系统的数学模型 数学模型是描述系统输入 输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式 它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系 数学模型的形式 时间域 微分方程 一阶微分方程组 差分方程 状态方程 复数域 传递函数 结构图 频率域 频率特性 引言 引言 建立数学模型的方法 解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式 建立模型 实验法人为地对系统施加某种测试信号 记录其输出响应 并用适当的数学模型进行逼近 这种方法也称为系统辨识 建立数学模型的过程是对系统实际结构参数的抽象和简化 应能反映系统内在的本质特征 同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑 实例 RC无源网络的动态方程 电路怎么会和微分方程有关系 输入信号 输出信号 建立数学模型的一般步骤 1 分析系统工作原理和信号传递变换的过程 确定系统和各元件的输入 输出量 确定输入输出 2 从输入端开始 按照信号传递变换过程 依据各变量遵循的物理学定律 依次列写出各元件 部件的动态微分方程 按信号传递列写元部件微分方程 3 消去中间变量 得到描述元件或系统输入 输出变量之间关系的微分方程 4 化成标准形式 右端输入 左端输出 导数降幂排列 引言 建立数学模型的步骤 解析法建模时 经常会遇到非线性问题 现实世界中几乎都是非线性系统 需要根据研究问题的精度 以及系统常见的工作状态 对系统中存在的各种因素进行分析与取舍 最终简化为便于分析的线性模型 线性模型的输入输出与实际系统相比误差较小 本章以常见的机械 电学等系统 建立系统的微分方程模型 线性的或非线性的 并采用小偏差线性化方法对非线性方程进行线性化 注意 本讲重点和难点 重点 机械系统的建模方法牛顿力学方法拉格朗日方法电路系统建模方法难点 机械系统的拉格朗日建模方法 机械系统的微分方程模型任何机械系统的数学模型都可以用牛顿定律来建立 机械系统中以各种形式出现的物理现象 都可以用质量 弹性和阻尼三个要素来描述 惯性和刚度较大的构件可以忽略其弹性 简化为质量块 惯性小 柔度大的构件可以简化为弹簧 质量 弹簧 阻尼系统是常见的对机械系统的抽象 2 1物理系统的微分方程模型 例1 质量弹簧阻尼系统 考虑如图所示的质量弹簧系统 滑动表面与质量块之间的摩擦力设为粘性阻尼模型 分析在外力f t 作用下模型的输出y的变化规律 这是一个系统吗 输入是什么 输出是什么 为什么要建立模型 即建立模型后该如何利用 如何建立描述输入输出之间关系的数学模型 质量弹簧阻尼系统各部分基本物理规律 质量 块 弹簧 粘性阻尼 液压 气压活塞推杆 阻尼器两部分相对运动速度 例1 质量弹簧阻尼系统 以弹簧平衡时系统的位置为初始平衡点 由牛顿第二定律建立力平衡方程 如果令 则有 例1 质量弹簧阻尼系统 状态空间方程 若忽略重力 以位移和速度为状态变量 机械平移系统 质量弹簧阻尼系统的其它形式 m B k均为常数 故所得微分方程为二阶常 系数 微分方程 由高数知识 常系数决定了微分方程的解 系统中各元件的固有参数决定了系统的输入输出关系 系统固有参数决定了系统特性 输入输出关系 与输入和输出内容无关 此结论也说明 用微分方程模型能够完全描述该系统输入输出关系 质量 弹簧 阻尼系统 机械平移系统演变 弹簧 阻尼系统 系统运动方程为一阶常系数微分方程 一个储能元件 阶次等于系统中独立储能元件 惯性质量 弹簧 的数量 此结论可以用来初步判断所建立的微分方程是否合理 电气系统三个基本元件 电阻 电容和电感 电气系统微分方程模型电阻 2 1物理系统的微分方程模型 电路分析主要对象 电抗 电压 电流 电气系统建模 列写各元件的电抗 电压与电流之间关系 电感 电容 电容 电压 电流的积分 电容值的倒数是常系数 电感 电压 电流的微分 电感值是常系数 例2 RLC网络 设电容 电感系数为常数 分析电容输出电压与输入电压之间的关系 例2 RLC网络 整理可得 根据基尔霍夫定律 有如下方程成立 由 可得 重要一步 微分方程里只有微分项所有积分要化成微分 例2 RLC网络 y 是系统的输出 描述物理系统的微分方程的特点 微分方程的系数由元件或系统结构本身的参量组合而成 因而都是实数 微分方程的形式取决于元件或系统的结构和系统进行的物理过程 微分方程的阶数取决于元件或系统自身含有储能元件的数量 微分方程的解反映了系统的运动规律 描述物理系统的微分方程的特点 同一元件或系统 所取的输入输出量不同 微分方程的形式也不相同 不同系统 尽管输入 输出量不同 也可能具有相似的微分方程 SISO线性系统 既可以由以下的线性常系数微分方程的一般形式来描述 描述物理系统的微分方程的特点 也可以由下面一阶线性微分方程组来描述 一阶微分方程组更适合多输入多输出的系统 对图示液位系统 设为容器液容 即单位压差H变化引起的容器容量V变化 试求液面高度与输入流量之间的关系 液位系统的数学模型 2 1物理系统的微分方程模型 例3 液位系统 由流体力学知识可知 流体流量与液面压差之间的关系与流体流动状态有关 对于层流流动 流量与液面压差之间呈线性关系 即 其中K为与流体流经的管路结构及流体密度有关的常量 H为液面压差 对于紊流流动 有 例3 液位系统 考虑紊流情况 有 整理可得 此为非线性微分方程 2 2小偏差线性化 在建立系统数学模型的时候 需要在模型的简单性和分析问题的准确性之间进行妥协与折衷 模型描述系统的精度越高 就越复杂 分析问题的难度也就越大 有时必须忽略系统的一些固有特性 特别是希望建立线性集中参数模型的时候 必须忽略系统中可能存在的非线性以及分布参数特性 如果这些被忽略的特性对系统响应的影响很小 那么采用简化的数学模型进行分析的结果与实验结果就会很好地吻合 2 2小偏差线性化 绝大多数实际系统只有在其变量在一定范围内变化时才是线性的 而几乎所有的系统在变量无限增大时均表现出非线性特性 因此 对每个系统来说 线性是只在一定范围内成立的特性 所谓线性系统 是指可以由线性微分方程或线性差分方程描述的系统 或者说 是满足叠加性和均匀性原理的系统 即 2 2小偏差线性化 如果系统在输入x1 t 的作用下 产生的输出为y1 t 在x2 t 作用下产生的输出为y2 t 那么如果系统在输入x1 t x2 t 的作用下的输出为y1 t y2 t 则称该系统满足叠加性原理 同样 如果系统在输入x t 作用下的输出为y t 且在Kx t 的作用下的输出为Ky t 则称系统满足均匀性原理 只有同时满足叠加性和均匀性原理的系统 才能称为线性系统 非线性函数举例 线性方程 2 2小偏差线性化 2 2小偏差线性化 本质 是以工作点x0处的切线来近似该点附近的曲线 只有在变量偏移工作点很小的前提下 这种近似才具有较高精度 故该线性化方法又称为小偏差线性化方法 泰勒展开 2 2小偏差线性化 对多变量函数F x y 同样可以在平衡工作点 x0 y0 附近展开Taylor级数并取一阶近似 有 例1 非线性线性化 已知 非线性方程为 试将该方程在取值区间内进行线性化 并用线性化方程计算时的值 解 在取值区间内取为平衡点 在该点的一阶Taylor展开为 例1 非线性线性化 其中 于是有线性化方程为 对于x 5 y 10点 有 经计算 该点的准确值为z xy 50 因此由线性化产生的误差为50 49 1 精度为2 例2 流量方程线性化 液面系统液面高度H与流入容器流量Q1之间的关系式由下式描述 其中K为由管道面积及其结构形式决定的参数 结构一定时 K在流量变化的一定范围内可近似地认为是恒值 试将其线性化 例2 流量方程线性化 解 首先设额定工作点为 H0 Q0 液面高度与流入容器流量之间的静态方程式为 利用一阶Taylor展开将非线性函数线性化 有 例2 流量方程线性化 另外 将线性化方程代入系统特性方程中可得 从上式两边减去静态方程 可以得到关于额定工作点的线性化方程式 工程上 将非线性微分方程在一定条件下转化为线性微分方程的方法称为非线性微分方程的线性化 通过线性化得到的微分方程将有条件地近似描述控制系统的运动过程 只有当近似条件成立时 用其讨论控制系统才有意义 小偏差线性化基本原则 小偏差线性化基本原则 此线性化方法只适用于光滑函数 即函数值与各阶导数的值都是连续的 至少在运行范围内如此 即非本质非线性 系统只能在平衡点附近工作 即变量偏离平衡工作点的偏差足够小 但不是无穷小量 而是有工程实际概念的较小的量 线性化方法是相对某一平衡工作点进行的 工作点不同 得到的线性化方程也不同 系统中各部件同时线性化时 应注意平衡状态的统一 例3 单摆 例 液压伺服机构 解 1 明确系统输入与输出 输入为x 输出为y 2 列写原始微分方程 3 非线性函数线性化 4 代入方程 整理可得 课后作业 作业 习题2 1 a b 2 3机械系统建模分析 机械元件运动形式 直线运动 translationalmotion 旋转运动 rotational 或二者的组合运动 牛顿运动定律建立机械系统数学模型的基本方法之一 也是最直观易于理解的方法 牛顿定律 作用在刚体给定方向上的外力代数和等于刚体质量与该方向上产生的加速度的乘积 关于给定轴的力矩代数和等于关于该轴的转动惯量与角加速度的乘积 直线运动 translationalmotion 描述直线运动的变量有加速度 速度和位移 Variables acceleration velocityanddisplacement 直线运动部件 质量 mass 储存能量线性弹簧 Linearspring 储存能量粘性阻尼 viscousfriction 耗散能量 液压阻尼 旋转运动 Rotationalmotion 描述旋转运动的变量有 角位移 角速度 角加速度 旋转运动部件 转动惯量 inertia 储存能量扭簧 Torsionalspring 储存能量粘性阻尼 Viscousfriction 耗散能量 例1 汽车悬挂系统 例1 汽车悬挂系统 针对质量M1来说 力平衡方程为 对质量M2来说 力平衡方程为 例1 汽车悬挂系统 消除中间变量 y2 后有 针对每一个具有独立位移的质量块可以列写一个二阶微分方程 若有n个质量块 则可以列写n个二阶微分方程 因此 由n个具有独立位移的质量块组成的机械平移系统应是2n阶系统 本题n 2 例2 定轴转动系统 定轴转动系统 旋转体的转动惯量等效为J 转动轴所受的摩擦设为粘性摩擦 阻尼系数为B 转动轴连接刚度为K 等效模型如图所示 例2 定轴转动系统 若驱动力矩为T 则根据转矩平衡方程 有 对于略为复杂的转动系统 与平移系统相似 仍然可以采用隔离体的方法 以角位移隔离不同的转动体 隔离后分别对不同转动轴列写力矩平衡方程 例3 转动系统 考虑图示转动系统 为输入力矩 试列写以为输出变量的微分方程 例3 转动系统 以角位移隔离两个惯性体 输出设两个变量分别为 列写力矩平衡方程为 例4 机械传动系统 如图所示的机械传动系统 T为输入力矩 J1 J2 B1 B2分别为两个转动轴的转动惯量和粘性阻尼系数 n1 n2分别为两啮合齿轮的齿数 试求出输入力矩T与转轴1的输出转角之间的关系 例4 机械传动系统 对于一般齿轮传动 若两齿轮间无传动功率损耗 则能量守恒 有 例4 机械传动系统 在忽略传动摩擦的情况下 分别针对两个转动轴列写力矩平衡方程 有 对于多级齿轮传动 同理可推得等效转动惯量与粘性阻尼为 机电控制系统中 齿轮传动多用于减速和增大力矩 故一般传动比小于1 于是多级齿轮传动中 后级齿轮及负载的转动惯量和粘性摩擦往往可以忽略不计 例5 型滤波器无源网络 试求u3与u1之间的关系 2 4其他系统建模 自学为主 例5 电学网络 根据欧姆定律及基尔霍夫定律 有 例6 加热系统 如图所示的加热系统中 温度为Te的冷液体进入加热箱内 加热均匀后流出 液体的比热为S 容器的热容量为C 液体的流量为恒值Q 如果以加热器在单位时间内产生的热量q t 为系统的输入量 以出口 入口处的温度差为输出量 试求两者之间的关系 例6 加热系统 解 单位时间内进入系统的热量为 单位时间内离开系统的热量为 单位时间内容器吸收的热量为 例6 加热系统 根据能量守恒原理 整理以后可得 由于 代入可得 例7 简单液位系统 试求输入流量qi与液位h之间的关系 液阻 R dH dQ液容 C dV dH对于层流流动 有 Q KH于是 R H Q 1 K对于紊流流动 有 于是 R 2H0 Q0 例7 简单液位系统 例7 简单液位系统 根据流量守恒 有 整理后有 例8 复杂液位系统 试分析输入流量q与输出流量q2之间的关系 机械系统动力学建模 拉格朗日第二方程方法 矢量动力学矢量动力学的基础是牛顿运动定律的直接应用 它注重系统内部的力和运动的相互作用 通