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且谈矩阵的RankGM0732130 钟小兵矩阵的Rank是反映矩阵固有特性的一个重要概念。在本文中，作者介绍了Rank的定义和计算方法；并结合自己的学习和认识，解释了Rank与行列式、向量组、线形方程组、线性空间、向量系之间千丝万缕的关系。一、 矩阵的秩1.1 定义矩阵Amxn的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A)，或rank(A)。显然, 矩阵A的秩是唯一确定的,并且,r(A)min(m,n), r(A)=r(AT), 零矩阵的秩等于 0。根据定义，矩阵A的秩等于r的充分必要条件是A中至少有一个r阶子式Dr0 , 并且所有的r+1阶子式(若存在)Dr+1=0。换个说法，矩阵A中有一个r阶子式不为0，则r(A)r；矩阵A中所有r阶子式全为0, 则r(A)r。1.2 性质1) r(AB) r(A),r(AB)r(B)。2) 任何矩阵经过矩阵初等变换后其秩不变。3) 设A是mn矩阵，P是m阶满秩方阵，Q是n阶满秩方阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)。可以理解为：A左乘P，相当于矩阵A经过一些行的初等变换；A右乘Q，相当于矩阵A经过一些列的初等变换，由前一性质可知矩阵的秩不变。4) 同型矩阵Amn与Bmn等价的二种充分必要条件分别为：l Amn与Bmn的秩相等。 l 存在m阶可逆阵p与n阶可逆阵Q，使PAQ=B。5) 对于任意一个矩阵A，A的秩，A的行秩和A的列秩三者都相等，称为矩阵三秩相等。当rAr时，A中非零的r阶子式所在的行（列）正好构成A的行（列）向量组的一个最大无关组。矩阵三秩相等，反映了矩阵内在的重要性质，也是线性代数中非常重要的一个结论。 n维向量空间的n个线性无关的向量构成的矩阵A，一定是满秩的，r(A)=n。1.3 满秩矩阵的特性1) 满秩矩阵的所有行（列）向量是线性无关的。2) 如果A是满秩方阵，则行列式|A|0。3) 满秩矩阵是可逆的。1.4 矩阵秩的计算方法1) 求出A中最高阶非0子式的阶数；2) 求矩阵A的行(列)向量组的秩；3) 将矩阵A化为阶梯阵即可看出。二、 矩阵秩与行列式的关系若矩阵A为n阶方阵，则r(A)=n |A|0（满秩矩阵）若矩阵A为一般矩阵，则r (A) r A 的所有r+1级子式等于0； r (A) r A 有一个r级子式不等于0。三、 矩阵秩和向量组的关系矩阵的秩可用于判断向量组的线形相关性。将矩阵A按行或列分块得到向量组（I），（II）分别为矩阵A的行向量组与列向量组，则r（A）=r（I）=r（II）。行向量组线性无关 r（A）=m。列向量组线性无关 r（A）=n。该结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变换。四、 矩阵秩与线性方程组的关系1) 线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵A的秩与增广矩阵的秩相同。2) 线性方程组解的情况： l 当r(A)=n时，有唯一解； l 当r(A)0。总能
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