一元二次不等式及其解法.ppt

不等式的解法 要点梳理1 一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表 一元二次不等式及其解法 基础知识自主学习 2 用程序框图来描述一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解的算法过程为 2 用程序框图来描述一元二次不等式ax2 bx c 0 a 0 的求解的算法过程为 x x x1 x x R x xx2 x x1 x x2 一元二次不等式的恒成立问题 12分 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对所有的实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 1 由于二次项系数含有字母 所以首先讨论m 0的情况 而后结合二次函数图象求解 2 转换思想将其看成关于m的一元一次不等式 利用其解集为 2 2 求参数x的范围 思维启迪 解 1 不等式mx2 2x m 1时 不等式恒成立 不满足题意 3分当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 即综上可知不存在这样的m 6分 2 从形式上看 这是一个关于x的一元二次不等式 可以换个角度 把它看成关于m的一元一次不等式 并且已知它的解集为 2 2 求参数x的范围 7分设f m x2 1 m 1 2x 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时线段在x轴下方 探究提高 1 解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量 谁是参数 一般地 知道谁的范围 谁就是变量 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 知能迁移4已知f x x2 2ax 2 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 知能迁移4已知f x x2 2ax 2 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解方法一f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 结合图象知 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得a 3 又a 1 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 2 a 1 又a 1 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 a 1 方法二由已知得x2 2ax 2 a 0在 1 上恒成立 令g x x2 2ax 2 a 即 4a2 4 2 a 0或解得 3 a 1 12 2009 南京模拟 已知不等式的解集为 x xb 1 求a b 2 解不等式 12 2009 南京模拟 已知不等式的解集为 x xb 1 求a b 2 解不等式 解析 1 因为不等式的解集为 x xb 所以 1与 b是方程的两个实数根 且b 1 由根与系数关系得 解得 2 不等式 即 即 x 2 x c 2时 不等式 x 2 x c 2时 不等式的解集为 x 2 x c 当c 2时 不等式的解集为 x c x 2 当c 2时 不等式的解集为 题型三线性规划问题 例3 已知求 1 z x 2y 4的最大值 2 的最小值 3 的取值范围 分析画出可行域后 注意观察分析目标函数的结构特征 并与解析几何中有关的概念 知识进行联系 找出目标函数的几何意义 通过数形结合进行求解 题型三线性规划问题 例3 已知求 1 z x 2y 4的最大值 2 的最小值 3 的取值范围 分析画出可行域后 注意观察分析目标函数的结构特征 并与解析几何中有关的概念 知识进行联系 找出目标函数的几何意义 通过数形结合进行求解 解作出可行域如图 并求出顶点的坐标A 1 3 B 3 1 C 7 9 1 易知可行域内各点均在直线x 2y 4 0的上方 故x 2y 4 0 将C 7 9 代入z得最大值为21 2 表示可行域内任一点 x y 到定点M 0 5 的距离的平方 过M作直线AC的垂线 易知垂足N在线段AC上 故z的最小值是 表示可行域内任一点 x y 与定点连线的斜率的两倍 因为 所以z的取值范围为 学后反思线性规划求最值问题 要充分理解目标函数的几何意义 诸如直线的截距 两点间的距离 或平方 点到直线的距离 过已知直线两点的直线斜率等 1 解一元二次不等式时 首先要将一元二次不等式化成标准型 即ax2 bx c 0或ax2 bx c0 如解不等式6 x2 5x时首先化为x2 5x 60或ax2 bx c0 与一元二次方程ax2 bx c 0的关系 方法与技巧 思想方法感悟提高 1 知道一元二次方程ax2 bx c 0的根可以写出对应不等式的解集 2 知道一元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c0或ax2 bx c 0的解集 1 一元二次不等式的界定 对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别 如 解不等式 x a ax 1 0 如果a 0它实际上是一个一元一次不等式 只有当a 0时它才是一个一元二次不等式 2 当判别式 0 a 0 解集为R ax2 bx c0 解集为 二者不要混为一谈 失误与防范 一 选择题1 2009 陕西理 1 若不等式x2 x 0的解集为M 函数f x ln 1 x 的定义域为N 则M N为 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 1 0 定时检测 一 选择题1 2009 陕西理 1 若不等式x2 x 0的解集为M 函数f x ln 1 x 的定义域为N 则M N为 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 1 0 解析不等式x2 x 0的解集M x 0 x 1 f x ln 1 x 的定义域N x 1 x 1 则M N x 0 x 1 定时检测 A 2 已知不等式ax2 bx 1 0的解集是则不等式x2 bx a 0的解集是 A 2 3 B 2 3 C D 2 已知不等式ax2 bx 1 0的解集是则不等式x2 bx a 0的解集是 A 2 3 B 2 3 C D 解析由题意知是方程ax2 bx 1 0的根 所以由韦达定理得解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0即为x2 5x 6 0 解集为 2 3 A 3 已知p 关于x的不等式x2 2ax a 0的解集是R q 1 a 0 则p是q的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件 3 已知p 关于x的不等式x2 2ax a 0的解集是R q 10的解集是R等价于4a2 4a 0 即 1 a 0 C 4 设命题p 2x 3 1 q 则p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4 设命题p 2x 3 1 q 则p是q的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件解析不等式 2x 3 1的解是1 x 2 不等式的解是1 x 2 A 5 设f x 若f t 2 则实数t的取值范围是 A 1 4 B 2 3 C 4 1 D 0 3 5 设f x 若f t 2 则实数t的取值范围是 A 1 4 B 2 3 C 4 1 D 0 3 解析由题意知t2 2t 1 2且t 0 或 2t 6 2且t3或t 0 D 6 在R上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1对任意实数x恒成立 则 A 1 a 1B 0 a 2C D 6 在R上定义运算 x y x 1 y 若不等式 x a x a 1对任意实数x恒成立 则 A 1 a 1B 0 a 2C D 解析依题设得x a x2 a2 1恒成立 C 二 填空题7 若函数f x 是定义在 0 上的增函数 且对一切x 0 y 0满足f xy f x f y 则不等式f x 6 f x 2f 4 的解集为 二 填空题7 若函数f x 是定义在 0 上的增函数 且对一切x 0 y 0满足f xy f x f y 则不等式f x 6 f x 0 x 0 所以0 x 2 0 2 8 若关于x的方程x2 ax a2 1 0有一正根和一负根 则a的取值范围是 8 若关于x的方程x2 ax a2 1 0有一正根和一负根 则a的取值范围是 解析令f x x2 ax a2 1 二次函数开口向上 若方程有一正一负根 则只需f 0 0 即a2 1 0 1 a 1 1 a 1 9 已知函数f x x2 2x b2 b 1 b R 若当x 1 1 时 f x 0恒成