302_第2讲多元函数的极限、连续.ppt

多元微积分学 大学数学 三 第二讲多元函数的极限 连续性 第一章多元函数微分学 第二节多元函数的极限与连续性 正确理解多元函数的重极限和累次极限的概念 了解多元函数的重极限和累次极限的区别和联系 掌握极限的运算法则 正确理解多元函数连续性的概念 掌握多元连续函数的运算法则 掌握有界闭区域上连续函数的性质 本节教学要求 重极限 累次极限 连续性 极限的运算法则 本节关键概念和理论 有界闭区域上连续函数的性质 第二节多元函数的极限与连续性 一 多元函数的极限及极限的运算 二 多元函数的连续性 三 多元函数的间断点 1 回忆与推广 一 多元函数的极限及其运算 2 二元函数极限的定义 3 多元函数极限的性质 定理 4 累次极限 形式上 1 回忆与推广 x0 x y a x O x0 x y a x O x0 x y a x O 回忆一元函数极限的概念的 现在进行形式上的推广 回忆一元函数极限的概念的 现在进行形式上的推广 进行整理 我们完成了极限概念的推广工作 时的极限 二重极限 记为 2 二元函数极限的定义 几点注意 多元函数的极限如果存在 则必唯一 3 多元函数极限的性质 定理 例 夹逼定理 由于 怎么办 怎么办 而 故由夹逼定理 得 解 例 无穷小性质 又 有界量 无穷小量 由于 解 例 有理化 解 例 等价无穷小 解 似曾相识 例 重要极限 解 例 极限不存在 解 而上述结果与k值有关 故原极限不存在 该例还说明一个问题 对此你有什么想法 多元函数的极限不存在 无穷多个方向 不等于 任意方向 可利用方向性来判别 累次极限是指的下列极限 一般说来 这两个极限不一定相等 在高等数学中 运算顺序不能随便交换 4 累次极限 若两个累次极限存在 但不相等 定理 例 由于两个累次极限不相等 故 解 例 二重极限存在不一定能推出累次极限存在 但 证明二元函数极限不存在的常用方法有 1 证明沿某特殊路径的极限不存在 2 验证沿某两个特殊路径的极限存在但不相等 二 多元函数的连续性 1 二元函数连续性的定义 2 二元连续函数的运算 3 多元初等函数 4 有界闭区域上连续函数的性质 1 二元函数连续性的定义 数中讨论区间端点处连续性的情形 与一元函数类似 连续的多元函数的和 差 积 商 分母不能为零 仍是连续函数 可以参考以下两本书 连续的多元函数的复合函数仍连续 在一定的条件下 2 二元连续函数的运算 1 分析中的反例 美 B R 盖尔鲍姆 J M H 奥姆斯特德 上海科学出版社 1980 参考书 2 高等数学是非300例分析 计幕然等 北京航空学院出版社 1985 与一元函数类似 3 多元初等函数 一元连续函数在闭区间上的性质 推广到多元函数中应是连续函数在有界闭区域上的性质 4 有界闭区域上连续函数的性质 性质1 最大 最小值定理 性质2 介值定理 从定理可看出 若取 由连续性 该定理实际上是介值定理的推论 性质3 根存在定理 通常说 三 多元函数的间断点 寻找间断点的方法 与一元函数的情况类似 函数无定义的点 极限存在但不等于函数 例如 极限不存在的点 在该点的函数值的点等等 例 由分母不能为零 的一切点均为函 数的间断点 解 多元函数间断点 多元函数的间断点可以构成 直线 曲线 曲面等 也可以是 某些点的集合 情形比较复杂 例 由分母不能为零 解 例 由三角函数