量纲分析与相似理论.ppt

量纲分析与相似理论 流体力学 合肥工业大学曹广学 流体力学 量纲 量纲和谐性原理 MF2Hf0611000 题目 什么是量纲 什么是单位 二者之间有什么区别和联系 答 量纲是表示各种物理量的类别 单位是度量各种物理量数值大小的标准 单位和量纲都是关于度量的概念 单位决定量度的数量 而量纲则指量度的性质 量纲 量纲和谐性原理 MF2Hf0611001 题目 量纲分析方法提出的根据是什么 它有何作用 答 1 提出根据 1 自然界一切物理现象的内在规律 都可以用完整的物理方法来表示 2 任何完整物理方程 必须满足量纲和谐性原理 2 作用可用来推导各物理量的量纲 简化物理方程 检验物理方程 经验公式的正确性与完善性 为科学地组织实验过程 整理实验成果提供理论指导 量纲 量纲和谐性原理 MF2Hf0611002 题目 凡是正确反映客观规律的物理方程 其方程各项的量纲都必须是一致的 这被之为量纲和谐性原理 但是在曼宁公式中 谢齐系数C的量纲为 R的量纲为L n为无量纲量 很明显量纲是不和谐的 所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的 你是如何认识这个问题的 并阐述你的理由 解 量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理 因为只有两个同类型的物理量才能相加减 否则没有物理意义的 而一些经验公式是在没有理论分析的情况下 根据部分实验资料或实测数据统计而得 这类公式经常是量纲是不和谐的 这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分 只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性 这些公式随着人们对流体本质的深刻认识 将逐步被修正或被正确完整的公式所替代 解题步骤 瑞利法 MF2Hf0612000 题目 试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量q的表达式 已知q与堰顶水头H 水的密度 和重力加速度g有关 1 分析影响因素 列出函数方程 解 根据题意可知 溢流堰过流时单宽流量q与堰顶水头H 水的密度 和重力加速度g有关 用函数关系式表示为 解题步骤 2 将q写成H g的指数乘积形式 即 3 写出量纲表达式 解题步骤 4 选L T M作为基本量纲 表示各物理量的量纲为 5 由量纲和谐性原理求各量纲指数 L 2 a 3b cT 1 2cM 0 b a 3 2b 0c 1 2 6 代入指数乘积式 得 其中 k1为无量纲系数 即流量系数m 由实验来确定 解题步骤 即 瑞利法 MF2Hf0612001 题目 求水泵输出功率的表达式 已知水泵的输出功率N与单位体积水的重量 流量Q 扬程H有关 1 分析影响因素 列出函数方程 解 根据题意可知 水泵的输出功率N与单位体积水的重量 流量Q 扬程H有关 用函数关系式表示为 解题步骤 2 将N写成 Q H的指数乘积形式 即 3 写出量纲表达式 解题步骤 4 选L T M作为基本量纲 表示各物理量的量纲为 5 由量纲和谐性原理求各量纲指数 L 2 2a 3b cT 3 2a bM 1 a a 1b 1c 1 6 代入指数乘积式 得 其中 k为无量纲系数 通过实验来确定 解题步骤 定理 MF2Hf0613000 题目 简述布金汉 定理的运用步骤 答 1 确定关系式 根据对所研究现象的认识 确定影响这个现象的各个物理量及其关系式 2 确定基本物理量 从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表 一般取m 3 使基本量纲的行列式不等于零 即保障基本无论量相互独立 3 确定基本物理量依次与其余物理量组成的 表达式 解题步骤 4 满足 为无量纲相 由量纲和谐性原理定出各 项基本物理量的指数a b c 5 写出描述现象的关系式 定理 MF2Hf0613001 题目 在用布金汉 定理时 要选取3个相互基本物理量 如何合理的选择这3个基本物理量呢 答 1 基本物理量与基本量纲相对应 即若基本量纲选 M L T 为三个 那么基本物理量也选择三个 倘若基本量纲只出现两个 则基本物理量同样只须选择两个 2 选择基本物理量时 应选择重要的物理量 换句话说 不要选择次要的物理量作为基本物理量 否则次要的物理量在大多数项中出现 往往使问题复杂化 甚至要重新求解 3 为保证三个基本物理量相互独立 其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件 一般是从几何学量 运动学量 动力学量中各选一个 即可满足要求 定理 MF2Hf0613002 题目 文丘里流量计是用来测量有压管路的流量 如右图所示 已知1 1断面和2 2断面之间的压强差 p随流量Q 流体密度 液体粘度 以及大小直径D1 D2变化 试用 定律求出的压强降落 p表示的流量公式 文丘里流量计 1 分析影响因素 列出函数方程 解 根据题意可知 压强差 p与通过的流量Q 流体的密度 液体的粘度 以及大小直径D1 D2有关 用函数关系式表示为 可以看出函数中的变量个数n 6 解题步骤 解题步骤 选取三个基本物理量 它们分别是几何学量D1 运动学量Q以及动力学量 2 选取基本物理量 量纲指数行列式 由量纲公式 故上述所选的三个基本物理量式相互独立的 解题步骤 3 列出无量纲 值 列出个无量纲的 值 其中为待定指数 4 根据量纲和谐性原理 确定各 项的指数 对于 1 其量纲式为 所以 解题步骤 解题步骤 对于 2 其量纲式为 对于 3 其量纲式为 解题步骤 5 写出无量纲量方程 上式中的数可根据需要取其倒数 而不会改变它的无量纲性质 即 定理 MF2Hf0613003 题目 流体在水平圆管中作恒定流动 管道截面沿程不变 管径为D 由于阻力的作用 压强将沿流程下降 通过观察 已知两个相距为l的断面间的压强差 p与断面平均流速V 流体密度 动力粘性系数 以及管壁表面的平均粗糙度 等因素有关 假设管道很长 管道进出口的影响不计 试用布金汉 定理求 p的一般表达式 1 列出上述影响因素的函数关系式 解 解题步骤 2 在函数式中n 7 选取3个基本物理量 依次为几何学量D 运动学量V和动力学量 三个基本物理量的量纲是 解题步骤 其量纲指数行列式为 故说明基本物理量的量纲是相互独立的 可写出n 3 7 3 4个无量纲 项 解题步骤 3 列出无量纲 值 其中 为待定指数 4 根据量纲和谐性原理 各 项中的指数分别确定如下 以 1为例 所以 解题步骤 解题步骤 同理可得 5 写出无量纲量方程 其中 2项根据需要取其倒数 但不会改变其无量纲性质 所以 解题步骤 求压差 p时 以 代入 可得 令 最后可得沿程水头损失公式为 上式就是沿程损失的一般表达式 定理 MF2Hf0613004 题目 试用瑞利法和 定理 布金汉定理 推导圆柱绕流的阻力FD的表达式 并说明瑞利法和布金汉 定理各适用于何种情况 已知圆柱绕流阻力FD与圆柱的直径为D 流体的流速为V 流体的密度 和流体的动力粘滞系数 为有关 1 已知与阻力FD有关的物理量为d V 即 解 一 瑞利法求解 解题步骤 2 将阻力写成d V 的指数乘积形式 即 3 写出量纲表达式 解题步骤 因为上面的三个方程式中有四个未知数 所以不能全部解出 我们保留其中的e 待实验中去确定 并用它表示其余的指数 4 选L T M作基本量纲 表示各物理量的量纲 5 由量纲和谐性原理 求各量纲的指数 L 1 a b 3c eM 1 c eT 2 b e a 2 e b 2 e c 1 e 解题步骤 6 带入指数乘积式 得 即 如果令绕流阻力系数 l为圆柱长 则得阻力公式 其中 绕流阻力系数CD与物体的形状和雷诺数有关 最后由实验确定 1 根据题意 本题共有5个物理量 即n 5 这些物理量之间存在下述关系式 解题步骤 2 选取3个基本物理量 依次为几何学量D 运动学量V和动力学量 三个基本物理量的量纲是 二 定理求解 解题步骤 其量纲指数行列式为 故说明基本物理量的量纲是相互独立的 可写出n 3 5 3 2个无量纲 项 解题步骤 3 列出无量纲 值 其中 为待定指数 4 根据量纲和谐性原理 各 项中的指数分别确定如下 对于 1 其量纲式为 解题步骤 对于 1 其量纲式为 解题步骤 5 写出无量纲量方程 其中 2项根据需要取其倒数 但不会改变其无量纲性质 所以 式中 称为绕流阻力系数 与物体的形状和雷诺数有关 由实验确定 由以上可以看出 用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同 一般 瑞利法适用于比较简单的问题 相关变量未知数n 4个 而布金汉 定理是具有普遍性的方法 流体相似概念 MF2Hf0624000 题目 何为模型试验的力学相似 它包括那几个方面的内容 答 所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对应物理量 指矢量物理量 如力 加速度等 之间应互相平行 并保持一定的比例关系 指矢量与标量物理量的数值 如力的数值 时间与压强的数值等 流体力学相似包括以下四个方面 1 几何相似2 运动相似3 动力相似4 初始条件和边界条件相似 相似准则 MF2Hf0625000 题目 为什么每个相似准则都要表征惯性力 答 作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外 其他力 如重力 粘滞力 流体动压力 表面张力和弹性力 都是企图改变运动状态的力 如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话 那么惯性力则是这个力多边形的合力 即牛顿定律 流动的变化就是惯性力与其它上述各种力相互作用的结果 因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较 相似准则 MF2Hf0625001 题目 分别写出欧拉数与韦伯数的表达式 其各自的物理意义是什么 欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数 表征压力与惯性力之比 两流动欧拉数相等则压力相似 韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数 表征惯性力与表面张力之比 两流动韦伯数相等则表面张力相似 答 相似准则 MF2Hf0625002 题目 列表各相似准则及其比尺 相似准则 MF2Hf0625003 题目 原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则 为什么 答 当采用同一种流体 不可能同时满足两种相似 因为 当重力相似时 而粘滞力相似时 可知速度比尺不同 也即不能同时满足两种相似 解题步骤 若采用不同流体时 在理论上是可能的 因为 当重力相似时 而粘滞力相似时 联立以上两式 可得当时 能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则 但是在实际中是不可能的 相似理论的应用 MF2Hf0626000 题目 有一直径d 50cm的输油管道 管道长l 200m 油的运动粘滞系数 管中通过油的流量 现用10 的水和管径dm 5cm的管路进行模型试验 试求模型管道的长度和通过的流量 解 该管道模型的几何比尺为 解题步骤 所以模型管道的长度 判别原型管道中的流态 解题步骤 所以管内流动为层流 应该按照粘滞力相似准则 雷诺相似准则 计算模型中流量Qm 10 水的运动粘滞系数为 模型运动粘滞系数比尺为 流量比尺 故模型管道中的流量Qm应为 相似理论的应用 MF2Hf0626002 题目 渠道上设一平底单孔平板闸门泄流 上游水深H 3m 闸前水流行近流速V0 0 6m s 闸孔宽度b 6m 下游为自由出流 闸门开度e 1 0m 今欲按长度比尺 l 10设计模型 来研究平板闸门的流量系数 试求 1 模型的尺寸和闸前行进流速V0m 2 如果在模型上测得某点的流量为Qm 81 5l s 则原型上对应点的流量Q为多少 3 闸门出流的流量系数 为多少 解 1 模型尺寸设计和闸前行近流速 解题步骤 因为闸孔出流主要作用力是重力 所以按重力相似准则设计模型 模型的长度比尺为 l 10 则模型中的尺寸为 上游水深 闸孔宽度 闸门开度 重力相似准则条件下的流速比尺 解题步骤 所以 2 原型流量Q的计算 重力相似准则条件下的流量比尺 即原型上的流量为 解题步骤 3 计算流量系数 流量系数 是常数 在原型和模型上都相同 根据平板闸门自由出流计算公式 由于行近流速很小 可以忽略不计H0 H 自由出流 即平板闸门闸孔出流的流量系数为0 56 相似理论的应用 MF2Hf0626003 题目 解 1 油自油管流出 自由表面受重力作用 由于油的粘度较大 故又受粘性力的作用 因此 重力和粘性力都是重要作用力 所以 这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗汝德数 解题步骤 2 模型流体的选定 由于运动粘度vm正好等于0 0925