2013届人教优化设计第一轮数学理复习课件2.7.ppt

2 7幂函数 知识梳理 1 幂函数的定义 形如 R 的函数称为幂函数 其中x是 为 2 五种幂函数的图象 答案 y x 自变量常数 3 五种幂函数的性质 答案 RRR 0 x x R且x 0 R 0 R 0 y y R且y 0 奇偶奇非奇非偶奇增x 0 时 增x 0 时 减增增x 0 时 减x 0 时 减 1 1 基础自测 1 下列函数中是幂函数的是 y y axm a m为非零常数 且a 1 y x2 y xn y x 1 3 y 2x2 y x2 1 A B C D 答案 B 2 幂函数f x x 是有理数 的图象过点 则f x 的一个单调递减区间是 A 0 B 0 C 0 D 0 答案 B 3 当0 x 1时 f x x2 g x h x x 2 则f x g x h x 的大小关系是 4 已知点在幂函数f x 的图象上 则f x 的定义域为 奇偶性为 单调减区间为 答案 h x g x f x 答案 0 0 奇函数 0 和 0 提示 幂函数y x 当x 0时 根据幂运算 幂函数y x 0恒成立 所以幂函数在第四象限没有图象 幂函数的图象最多只能出现在两个象限内 2 函数y x y x2 y x3 y y 在区间 0 1 上图象的上 下位置与幂指数的大小有什么关系 提示 在区间 0 1 上幂指数越大其图象越靠下 思维拓展 1 为何幂函数在第四象限没有图象 幂函数的图象最多出现在几个象限内 3 结合表格内容 当 0时 探究幂函数y x 有什么性质 提示 1 图象都通过 0 0 1 1 2 在 0 上是增函数 3 在第一象限内 1时 图象是向下凸的 0 1时 图象是向上凸的 4 在第一象限内 过 1 1 点后 图象向右上方无限延伸 一 幂函数定义的应用 例1 已知函数f x m2 m 1 x 5m 3 m为何值时 f x 1 是幂函数 2 在 1 的条件下是 0 上的增函数 3 是正比例函数 4 是反比例函数 解 1 f x 是幂函数 故m2 m 1 1 即m2 m 2 0 解得m 2或m 1 2 当m 1时 f x x2 在 0 上是增函数 当m 2时 f x x 13 在 0 上不是增函数 故不符合题意 3 若f x 是正比例函数 则 5m 3 1 解得m 此时m2 m 1 0 故m 4 若f x 是反比例函数 则 5m 3 1 即m 此时m2 m 1 0 故m 方法提炼1 判断一个函数是否为幂函数 只需判断该函数的解析式是否满足 1 指数为常数 2 底数为自变量 3 幂系数为1 2 若一个函数为幂函数 则该函数解析式也必具有以上的三个特征 请做 针对训练 3 二 幂函数性质的简单应用 例2 已知幂函数y m N 的图象关于y轴对称 且在 0 上函数值随x的增大而减小 求满足 a 1 3 2a的a的取值范围 解 函数f x 在 0 上递减 m2 2m 3 0 解得 1 m 3 m N m 1 2 又函数的图象关于y轴对称 m2 2m 3是偶数 而22 2 2 3 3为奇数 12 2 1 3 4为偶数 m 1 而y 在 0 0 上均为减函数 a 13 2a 0 或0 a 1 3 2a或a 1 0 3 2a 解得a 1或 a 故a的范围为 方法提炼比较幂的大小的常用方法 1 若幂的指数相同 构造幂函数 利用幂函数的单调性比较大小 2 若幂的底数相同 构造指数函数 利用指数函数的单调性比较大小 3 若幂的底数和指数均不相同 找一个中间幂 使它与一个幂的底数相同 而与另一个幂的指数相同 分别将此幂与它们比较 提醒 比较既有幂值 又有对数值的大小问题 一般引入中间量 分组比较大小 请做 针对训练 2 三 幂函数的图象与性质 例3 1 2011山东聊城模拟 已知幂函数f x m N 1 试确定该函数的定义域 并指明该函数在其定义域上的单调性 2 若该函数经过点 2 试确定m的值 并求满足条件f 2 a f a 1 的实数a的取值范围 解 1 m2 m m m 1 m N 而m与m 1中必有一个为偶数 m2 m为偶数 函数f x m N 的定义域为 0 并且该函数在 0 上为增函数 2 函数经过点 2 即 m2 m 2 解得m 1或m 2 又 m N m 1 f x 又 f 2 a f a 1 解得1 a 故m的值为1 满足条件f 2 a f a 1 的实数a的取值范围为1 a 例3 2 已知幂函数f x t3 t 1 t Z 是偶函数 求实数t的值 解 f x 是幂函数 t Z t3 t 1 1 t 1 1或0 又函数f x 是偶函数 7 3t 2t2是偶数 t 1或t 1 方法提炼幂函数y x 的图象与性质由于 的值不同而比较复杂 一般从两个方面考查 1 的正负 0时