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1 第2章数值积分 1 2 2 1引言 利用牛顿 莱布尼兹 Newton Leibniz 公式 2 1 解决函数在上的积分问题在理论和应用上都有重大的意义 然而 在实际问题中 往往会遇到一些困难 有些形式上较简单的函数 其原函数不易求出或不能用初等函数表示成有限形式 有些被积函数的原函数过于复杂 而有些函数的函数值是由实验 观测等方法得出 并没有给出具体的解析表达式 这些情形说明公式 5 1 在应用上是有局限性的 因此研究定积分的数值计算问题就显得十分必要 本章主要介绍一些常用的数值积分方法 包括梯形积分法 辛卜生积分法 变步长积分法 牛顿 柯特斯积分法 高斯积分法 龙贝格积分法 2 3 2 2梯形积分法 2 2 1梯形积分法的基本思想梯形积分法的基本思想 在积分区间上 根据给定的插值条件和 构造一个一次二项式 并以的积分值近似地代替 从几何角度而言 是以梯形面积近似地代替曲边梯形的面积 3 图2 1 4 2 2 2梯形求积公式依据梯形积分法的基本思想 将区间分成个相等的小区间 则每个小区间的长度为 对每个小区间均实施如下的梯形求积 将这些小梯形的求积值加起来 可以得到如下梯形求积公式 4 5 2 2 3实现梯形积分法的基本步骤 1 输入区间的端点值以及分割数 2 将区间等分成个小区间 每一个小区间的长度 3 计算每一个等分点的函数值 4 计算 5 输出的值 6 结束 5 6 例2 1使用梯形求积公式求下列定积分的值 6 7 辛卜生积分法的基本思想 在积分区间上 根据给定的插值条件 和 构造一个二次插值求积多项式 并以的积分值近似地代替 从几何角度而言 是用过三点的抛物线面积近似地代替积分的曲边面积 2 3辛卜生 Simpson 积分法2 3 1辛卜生积分法的基本思想 7 图2 3 8 2 3 2辛卜生求积公式依据辛卜生积分法的基本思想 将区间分成 必须是偶数 个相等的小区间 则每个小区间的长度为 在小区间均实施如下的辛卜生求积 将这些求积值加起来 可以得到如下辛卜生求积公式 其中 为奇数项的函数值之和 为偶数项的函数值之和 8 9 2 3 3实现辛卜生积分法的基本步骤 1 输入区间的端点的值以及分割数 2 将区间等分成个小区间 每一个小区间的长度 3 计算每一个等分点的函数值 4 计算 计算奇数项的函数值之和 计算偶数项的函数值之和 5 计算 6 输出的值 7 结束 9 10 例2 2使用辛卜生求积公式求下列定积分的值 10 11 2 4变步长求积分法 2 4 1变步长求积分法的基本思想变步长求积分法是以梯形公式为基础 逐步改变步长 以达到预先所要求的精度 变步长求积分法主要有变步长梯形求积分法和变步长辛卜生求积分法 本节我们将介绍这两种方法 11 12 2 4 2变步长梯形求积分法变步长梯形求积分法的基本过程 1 利用梯形公式 将积分区间等分 即其中 2 将每一个求积小区间再二等分一次 即由原来的等分变成等分 则有 12 13 其中 为再二等分一次后新增加的结点 它们都是原来各小区间的中点 由上式可以看出 在对每一个小区间在二等分后 在积分值的第一项中只包含再二等分之前的各结点上的函数值 并且第一项的值正好是再二等分之前积分值的一半 显然 这一项中所包含的函数值就不必计算了 再二等分后需要计算的函数都包含在第二项中 它们都是二等分后出现的新的结点 因此有 3 若 二等分后的积分值就是最后的结果 否则保存当前的等分数 积分值与步长 即转到第 2 步继续做二等分处理 13 14 2 4 3实现变步长梯形积分法的基本步骤 1 输入区间的端点的值以及容许误差 2 计算区间的长度 3 首先将区间进行一等分 并设 4 再将每一个求积小区间 由原来的等分变成等分 5 计算 6 成立 则继续 否则 转 4 7 输出的值 8 结束 14 15 2 4 4变步长辛卜生求积分法变步长辛卜生求积分法的基本过程 1 利用梯形公式 将积分区间一等分 2 将其中的每一个求积小区间再二等分一次 3 根据上面两式和 可以推导出如下的变步长辛卜生求积公式 进一步得到再二次等分一次后的变步长辛卜生求积公式为 4 若 二等分后的积分值就是最后的结果 否则保存当前的变步长梯形积分值 等分数 积分值与步长 转到第 2 步继续做二等分处理 15 16 2 4 5实现变步长辛卜生积分法的基本步骤 16 17 17 18 例2 4使用变步长辛卜生求积分法求下列定积分的值 18 19 2 5牛顿 柯特斯 Newton Cotes 积分法 2 5 1牛顿 柯特斯积分法的基本思想牛顿 柯特斯积分法的基本思想 用高次的插值求积多项式去逼近被积函数 以获得高精度的积分值 事实上 梯形积分是当时的牛顿 柯特斯积分 辛卜生积分是当时的牛顿 柯特斯积分 它们都是牛顿 柯特斯积分的特例 19 20 2 5 2牛顿 柯特斯求积公式下面给出三到五阶牛顿 柯特斯求积公式 20 21 实现三阶牛顿 柯特斯求积公式的基本步骤如下 21 22 例2 5使用牛顿 柯特斯求积公式求下列定积分的值 22 23 2 6龙贝格 Romberg 积分法 2 6 1龙贝格积分法的基本思想前面讲述的各种求积方法是插值求积的思想 而龙贝格积分法的基本思想是 使用一个诸如梯形求积法等代数精度较低的求积公式 相继以步长和求得定积分的两个近似结果 然后再做它们适当的线性组合 就可以得到一个代数精度更高的公式 23 24 根据复化梯形公式的余项表达式可知 2 6龙贝格 Romberg 积分法 25 即 依此类推 26 这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法 27 同理由复化辛普森公式的余项 可得 由复化Cotes公式的余项 得 28 例 根据如下函数值表 利用复化梯形公式计算积分的近似值 要求误差不超过 原积分的精确值为 29 然后将区间二等分 利用梯形公式的递推公式求出 递推公式 进一步二分积分区间 类似可求出 如此不断二分并利用递推公式 可得下表中的结果 解 先在整个区间上用梯形公式 30 k表示二分次数 区间数 由表中可以看出 对分8次和对分7次之间的差 因而是满足精度要求的解 31 收敛速度慢 对于复化辛蒲生公式 柯特斯公式可以类似得到 32 加速收敛 应用步长逐次减半得到的复化梯形值 复化辛蒲生值 复化柯特斯值与精确值的比较 33 例将以上三个加速公式用于求 从表中可以看出三次加速求得R1 0 9460831每位数字都是有效数字 34 上述用若干个积分近似值算出更精确的积分近似值的方法 称之为外推法 4个积分值序列 梯形值序列 辛蒲生值序列 龙贝格值序列 柯特斯值序列 35 外推法的计算步骤 36 例 利用龙贝格积分法式计算积分要求精确到小数点后面7位 解 根据龙贝格积分法计算得 37 具体结果见下表 38 精确值为0 91629073187415506518352721176801 39 2 6 2实现龙贝格积分法的基本步骤 1 输入区间的端点的值 最大迭代次数以及容许误差 2 计算区间的长度 3 用梯形积分法计算积分近似值 4 对计算对计算 如果 则退出循环 5 如果 则继续 否则输出无解信息 转 7 6 输出的值 7 结束 39 40 本章小结 本章首先简要介绍了数值积分在实际应用中的重要性 并对在本章中介绍的各种数值积分的基本思想作了详细的说明 作为数值积分的方法 介绍了梯形积分法 辛卜生积分法 变步长积分法 牛顿 柯特斯积分法 高斯积分法 龙贝格积分法 梯形积分法和辛卜生积分法是最基本的求积方法 其不足之处是当积分区间的长度较大时 直接使用这两种方法 则计算结果的精度难以满足要求 因此 为了提高精度 引进了不断二等分每个子区间的变步长梯形积分法和变步长辛卜生积分法 牛顿 柯特斯积分法是一种可以获得高精