大学线性代数答案解析第五版.pdf

习题一 B 参考解答 升达经贸管理学院共科部刘如玉 联系电话 6243 6274 1 7 B 1 求求 2n 级排列级排列 13 2n 1 2n 2n 2 42 的逆序数的逆序数 解 13521 222642 nnn LL 012 1 1 2 210nnn LL 1 2 1 2 n n n n 2 已知已知 n 级排列级排列 1 2 1nn iiii L共有共有 k 个逆序个逆序 求排列求排列 12 1n n i ii i L 的逆序数的逆序数 解 对任意的两个数 jk i i jk i i或者在 1 21nn iiii L中构成逆序 此时在 12 1n n i ii i L中不构成逆 序 或者在 12 1n n i ii i L中构成逆序 此时在 1 21nn iiii L中不构成逆序 所以有 1 2112 1 1 1 321 1 2 nnn n iiiii ii in nn n LLL 由已知 1 21 nn iiiik L 所以 12 11 21 11 1 1 22 n nnn i ii in niiiin nk LL 3 计算下列行列式计算下列行列式 1 1221 1000 0100 0001 nnn x x x aaaaa L L MMMMM L L 2 2 1121 2 2 122 2 12 1 1 1 n n nnn xx xx x x xxx x x xx xx L L MMM L 解 1 原式 21 123 n n cxcx cxc L 21 1211221 01000 0100 0001 n nnnnn x x aaxaxa xaaaa L L MMMMM L LL 121 121 1000 100 1 001 nn nnn x aaxaxa x x L L L MMMM L 1211 121 1 1 nnn nnn aaxaxa x L 21 121 n nnn aaxaxa x L 习题一 B 参考解答 升达经贸管理学院共科部刘如玉 联系电话 6243 6274 2 7 2 情形 1 当0 1 2 i xin L时 第 i 行和第 i 列分别提出公因子 xi 得 原式 2 1 2222 212 2 1 111 1 111 1 111 n n x xx xx x L L L MMM L 1 2 3 i rr in L 2 1 22222 1212 22 1 1 111 11 0 11 0 n n x xxx xx xx L L L MMM L 2 1 2 1 2 3 i i x cc x in L 22 2 222 111 2222 122 2 1 111 1 00 1 00 n n n xx xxx x xxx x LL L L MMM L 22 222 2 12 22222 1112 111 1 n n n xx x xx xxxxx LLL 222 12 1 n xxx L 情形 2 若 xi 0 不妨设 x2 0 则 原式 22 1111 31 2 3 133 22 113 101 0101 011 nn n nnnnn xx xxx xx x x xxx x x xxx xx xx LL LL MMMMMM LL 其值恰为上结论中 x2 0 的值 情形 3 多个 xi 0 的情况与情形 2 类似 综合以上两种情况 原式 222 12 1 n xxx L 习题一 B 参考解答 升达经贸管理学院共科部刘如玉 联系电话 6243 6274 3 7 4 设设 1234 2341 3412 4123 A 计算计算 14243444 234AAAA 其中其中 Ai4为为 A 中元中元 4 1 2 3 4 i ai 的代数余子式的代数余子式 解 作辅助行列式 1231 2342 3413 4124 B 易知 B 0 另一方面 将 B 按第 4 列展开 得 14243444 234BBBBB 14243444 2340BBBB 因为 4i b的代数余子式 4i B与 A 中元 4i a的代数余子式 4i A相同 1 2 3 4 i 14243444 2340AAAA 5 设设 n 阶行列式阶行列式 123 1200 1030 100 n n D n L L L MMMM L 求第一行各元的代数余子式之和求第一行各元的代数余子式之和 11121n AAA L 解 同上题 作辅助行列式 1111 1200 1030 100 B n L L L MMMM L 1 1 2 3 i cc i in L 111 1111 23 0200 0030 000 n n LL L L MMMM L 111 1 23 n n L 另一方面 将 B 按第 1 行展开 得 11121 n BBBB L 11121 111 1 23 n BBBn n LL 因为 1i b的代数余子式 1i B与 A 中元 1i a的代数余子式 1i A相同 1 2 in L 习题一 B 参考解答 升达经贸管理学院共科部刘如玉 联系电话 6243 6274 4 7 11121 111 1 23 n AAAn n LL 6 设设 A 是是 n 阶可逆方阵阶可逆方阵 且且 0 T AAEA 证明证明 A E 不可逆不可逆 证明 由 T AAE 得 TT AEAAAAEAAEA 1 0AEA 而 A 0 所以 1 0A 故 A E 0 所以 A E 不可逆 7 已知已知 A 为为 3 阶数量矩阵阶数量矩阵 且且 1 27 A 求求 1 A 解 由已知可设 A k E3 3 3 1 27 kkEA 1 3 k 8 设设 A B 分别是分别是 m 阶和阶和 n 阶方阵阶方阵 A a B b 求求 2OA BO 解 2OA BO 2 1 mn AO OB 1 2 1 2 mnmnm A Bab 9 设设 A 是是 4 阶方阵阶方阵 B 是是 5 阶方阵阶方阵 且且 A 2 B 2 计算计算 2 B A 解 2 B A 445420425 2 1 2 22 2 22BAB 10 已知已知 3 3 1 2 ijijij AaaA i jn L 其中其中 ij A是是 ij a的代数余子式的代数余子式 且且 11 0a 证明证明 A 1 证明 由已知得 T AA 所以 T AAAAA E 222 11121 n Aaaa L 由 11 0a 得 0A 又由 T AAA E 等式两边取行列式 得 23 T AAAA EA 所以 A 1 11 设设 A 是是 n 阶可逆方阵阶可逆方阵 试证试证 2 3 n AAAn 证明 AAA E Q 且 A 可逆 1 AA A 且有 1 1 AA A 112 1 nn AAAAAAA A 另证 1 nA AAEAE Q 1 nAA AAA 习题一 B 参考解答 升达经贸管理学院共科部刘如玉 联系电话 6243 6274 5 7 1 nAAAA 由 A 可逆知 0A 故得 2 nAAA 12 设设 A 是是 3 阶方阵阶方阵 A 1 将将 A 按行分块为按行分块为 1 2 3 A AA A 若若 1 2 3 2 3 A BA A 求求 B 解 11 22 33 22366 3 AA BAAA AA 所以 3 1 2 6 36BB 13 已知已知 n 阶非零方阵阶非零方阵 A 是奇异矩阵是奇异矩阵 证明证明 0A 证明 反证 若 0A 则 A可逆 由 A 是奇异矩阵且 AAA E 得 1 AA AO 所以 AO 矛盾 注 此题为书中 35 页例题 3 的一部分 14 设设 A B 均为均为 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵 证明存在可逆矩阵证明存在可逆矩阵 P Q 使得使得 PAQ B 证明 因为 A B 可逆 所以它们的等价标准形均为 n 阶单位矩阵 E 即存在可逆矩阵 1122 P Q P Q满足 1122 PAQE PBQE 所以 1122 PAQPBQ 即得 11 2112 PPAQQB 则 11 2112 PPP QQQ 是可逆矩阵 且满足 PAQ B 注 实际上 取 P A 1 Q B 则有 PAQ A 1AB B 简单吧 15 已知已知 3 阶方阵阶方阵 A 的逆矩阵的逆矩阵 1 111 121 113 A 求求 A 的转置伴随矩阵的转置伴随矩阵 A 的逆矩阵的逆矩阵 解 由 AAA E 知 11 1 AAAA A 1 111111 1210102 113002 A 1 111100111100 121010010110 113001002101 AE 习题一 B 参考解答 升达经贸管理学院共科部刘如玉 联系电话 6243 6274 6 7 111100 010110 11 0010 22 51 1001 22 010110 11 0010 22 51 1 22 110 11 0 22 A 11 51 1 521 22 2110220 11101 0 22 AAA 16 设矩阵设矩阵 100 031 011 A 矩阵矩阵 B 满足等式满足等式 BA B A 1 求求 B 解 1 B AEA Q 1 1 11 BAAEA AEAA EA 100 0312 011 A Q 1 1 1 00 2 200 31 2 0510 1414 013 15 0 1414 BEA 17 设矩阵设矩阵 A B 满足满足 A BA 2BA 8E 其中其中 100 020 001 A 求求 B 解 2A QA 可逆 又 28A BABAE Q 1 28A BB