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概率论与数理统计 第四章连续型随机变量 ContinuousRandomVariable 为了对离散型和连续型随机变量r v randomvariable 以及更广泛类型的r v给出一种统一的描述方法 引入了分布函数的概念 它是一个普通的函数 正是通过它 我们可以用数学分析的工具来研究随机变量 本章首先引进分布函数的概念 然后给出连续型随机变量的定义 介绍几种常见的连续型随机变量及其数字特征 4 1连续型随机变量的概念 conceptofContinuousRandomVariable 为了对离散型和连续型随机变量r v randomvariable 以及更广泛类型的r v给出一种统一的描述方法 下面先引进分布函数的概念 除了离散型随机变量外 还有一类重要的随机变量 连续型随机变量 由于这种随机变量的所有可能取值可以取到区间 a b 或 的一切值 取值无法像离散型随机变量那样一一排列 因而也就不能用离散型随机变量的分布律来描述它的概率分布 刻画这种随机变量的概率分布可以用分布函数 或者更常用的方法是用所谓的概率密度 或 例设某厂生产某产品的规定尺寸为25 40cm 已知某批产品的最小尺寸为25 20cm 最大尺寸为25 60cm 现从这批产品中任取100件 得到100个测量值 计算得如下数据表 我们关心的是随机变量落在某一区间的概率 这可通过统计样本的尺寸 在每个小区间的频率近似得到 25 235 25 565 建立频率柱形图如下 当n无限增大 组距无限减小时 频率分布直方图就会无限接近一条光滑曲线 此即为随机变量X的概率密度曲线 以该曲线为图形的函数称为 的概率密度函数 记为 f x 这样 随机变量落在某区间的概率为区间上曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 又例如 对某一目标进行射击 记r表示着弹点到目标的距离 我们关心的是r1 r r2 称为 环 测试某批灯泡的寿命T 我们关心的是 T 5000 及格 注意到 事件 a T b T b T a 又 T a T b P a T b P T b P T a 我们只要给形式如P T x 概率 则随机变量T落在左开右闭的区间的概率可得到 进一步还可计算T落在任意区间 开区间 闭区间 及取任一点的概率 由随机变量的定义可知 对于每一个实数x 都是一个事件 因此有一个确定的概率 与之对应 所以 概率 定义 设 是一个随机变量 x是任意实数 称函数 为 的分布函数 x 4 1 1随机变量的分布函数 是随机变量 x是参变量 F x 是r v 取值不大于x的概率 由定义 对任意实数x1 x2 随机点落在区间 x1 x2 的概率为 只要知道了随机变量 的分布函数 它的统计特性就可以得到全面的描述 例1 设随机变量 的分布律为 求 的分布函数 解 当x 0时 满足 x 满足 x的 取值为 0 当 同理当x 2时 满足 x的 取值为 0或1 例1 设随机变量 的分布律为 求 的分布函数 例1 设随机变量 的分布律为 求 的分布函数 一般地 离散型随机变量 pk P xk k 1 2 的分布函数 F x 在x xk处有跳跃 其跳跃值 高度 为pk P xk 分布函数的性质 根据分布函数F x 的定义 可以得到任一分布函数具有以下基本性质 1 F x 是一个不减的函数 1 性质2的证明 由性质1知F x 单调有界 故 由概率的可列可加性 P 所以 必有 证毕 性质3的证明 因为F x 单调有界 所以 任一点x的右极限F x 0 必存在取任一单调递减数列x1 x2 xn xn x 只需证明 因为F x1 F x P x X x1 故 证毕 知道一个随机变量X的分布函数 不仅得到形如事件 X x 的概率 还可计算X落在任意区间 开区间 闭区间 X取任一点的概率 例如P x1x 1 P X x 1 F x P X x P X x P X x P X x F x 0 其中xn x P x1 X x2 P x1 X x2 P X x2 F x 0 F x1 例2 例3 已知离散型随机变量的分布律为 分布函数是 试确定其中的a b c d e的值 解 由F 0 F 1 得c 0 e 1 由p 1 F 1 F 1 0 得1 3 4 b b 1 4 又由1 4 a b 1 从而得a 1 2 由p 0 F 0 F 0 0 得1 2 3 4 d 从而d 1 4 即a 1 2 b 1 4 c 0 d 1 4 e 1 例4 设随机变量X的分布函数为 解 由分布函数的性质 我们有 解方程组 得解 例5一个靶子是半径为2米的圆盘 设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比 并设射击都能中靶 以X表示弹着点与圆心的距离 试求随机变量X的分布函数 解 1 若x 0 则是不可能事件 于是 3 若x R 则 x 是必然事件 于是 x 2 F x x 不难发现 如果设 综合得 4 1 2连续型随机变量 ContinuousRandomVariable 则称 为连续型随机变量 而称f x 为 的分布密度函数 或概率密度函数 简称分布密度 或概率密度 f x x 面积 分布密度f x 必须满足 密度函数的几何特征 1分布密度函数的曲线总在横轴的上方 在整个实数轴有定义 3 对于任意实数 由概率密度函数f x 与分布函数F x 的关系即得结论 进一步可得 上式说明 f x 不是 取值x的概率 但是它可反映在x点附近取值的概率的大小 注意对于任意可能值a 连续型随机变量取a的概率等于零 即 证明 由此可得 1连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 2设 为连续型随机变量 a是可能发生的事件 但总有 若 为离散型随机变量 例6 书例4 确定a的值 求 的分布函数F x 求概率P 2 1 解 1 根据密度函数的非负性 有a 0又由 解 例7 1234 例8设r v 的分布函数为 1 求 取值在区间 0 3 0 7 的概率 2 求 的概率密度 解 1 P 0 3 X 0 7 F 0 7 F 0 3 0 72 0 32 0 4 2 f x 注意到F x 在x 1处导数不存在 根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质 可以在没意义的点0 1处 任意规定的值 4 1 3连续型随机变量的数学期望 定义 否则称 的数学期望不存在 比较离散型情形 随机变量 的概率分布为P xn pn n 1 2 若级数绝对收敛 则称该级数为 的数学期望 记为 4 1 3 1连续型随机变量的数学期望 f x 在数轴上取分点 x0 x1 x2 分布律 可视为 的离散近似 max xi 0 解 例9 例10 设随机变量X服从柯西 分布 其密度函数为 解 由于积分 因此柯西分布的数学期望不存在 例设随机变量X服从 求E X 解 在数轴上取分点 x0 x1 x2 的离散近似 g x 的离散近似 连续型随机变量函数的数学期望 连续型随机变量函数的数学期望 若 是连续型的 它的分布密度为f x 则 比较若 为离散型随机变量 分布律为 g 为 的函数 例11 k 0 求EW 解 又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 解 解之得 例12 书例8 供应随机需求的存贮问题 解 设存贮量为A 则净利润P 随机变量 为 的函数 A是参数 由于P是个随机变量 其值不能由A完全确定 因此考虑选择A 使P的期望达到最大 由连续型随机变量 函数g 的期望计算公式 f x 为 分布密度函数 现 又设 的密度函数为f x x 0 则 结果是 选择A 使满足 A 可见当 1 方差的计算 4 1 3 2方差 切比雪夫不等式 由随机变量的函数的期望计算公式得 比较 为离散型 P xk pk D 证明 或利用公式计算 回顾离散型方差的性质 方差是一个常用来体现随机变量 取值分散程度 D 值越大 表示 取值分散程度越大 或者说D 值小 表示 的取值越集中 2 方差的意义 与离散型同 解 例13 于是 前面已算得 2 切比雪夫不等式 证明 取连续型随机变量的情况来证明 切比雪夫不等式 证毕 切比雪夫不等式的等价形式 0 75 0 8889 0 9375 切比雪夫不等式说明了任一随机变量落入区间 E 的概率可由方差D 估计 当D 越小时 落入该区间的概率越大 说明了方差D 确实反映 取值的集中 于期望 程度 D 0的充要条件是P E 1 以概率1取常数C E P E 对任意的 0 令 0得 P E 1 进一步 我们还可证明 充分性显然 下证必要性 设D 0 由切比雪夫不等式 证明 例14 假设一批种子的良种率为1 6 从中任意选出600粒 试用切比晓夫 Chebyshev 不等式估计 这600粒种子中良种数所占比例与1 6之差的绝对值不超过0 02的概率 4 1 3 3贝努里大数定律 定理2设 n是n重贝努里试验中事件A发生的次数 A在每次试验中出现的概率为p 则对任意的 0 有 证明 由切比雪夫不等式 在上式令n 取极限即 蒲丰投针问题中解法的理论依据就是大数定律 当投针次数N很大时 用针与线相交的频率n N近似针与线相交的概率p A 从而求得 的近似值 贝努里大数定律建立了重复试验下事件发生的频率稳定于其概率P的性质 确定了 稳定 的意义 给用频率估计概率的方法提供了理论基础 A 针与任一平行直线相交 已经算得 4 2重要的连续型随机变量 4 2 1均匀分布 概率密度函数图形 分布函数 分布函数图形 例1设随机变量 在 2 5 上服从均匀分布 现对 进行三次独立观测 试求至少有两次观测值大于3的概率 的分布密度函数为 设A表示 对 的观测值大于3 的事件 解 即A 3 因而有 设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数 则 解 例2 的分布密度函数为 方程有实根的概率的充要条件为 均匀分布的期望和方差 则有 均匀分布的数学期望位于区间的中点 均匀分布的特征是 随机变量落在任意小区间的概率只与小区间的长度有关 而与小区间的位置无关 某种意义上表现随机变量取值的 等可能 性 4 2 2 1正态分布 或高斯分布 5 正态概率密度函数的图形 正态分布的分布函数 标准正态分布的图形 标准正态分布的概率密度表示为 标准正态分布 标准正态分布的分布函数表示为 正态分布是最常见最重要的一种分布 例如测量误差 人的生理特征尺寸如身高 体重等 正常情况下生产的产品尺寸 直径 长度 重量高度等都近似服从正态分布 正态分布的应用与背景 正态分布的期望和方差 则有 正态分布下的概率计算 原函数不是初等函数 因此概率不能通过积分算出 方法 转化为标准正态分布查表计算 解 例3 查表 解 例4 证明 例5证明 证明 x x 解 例6 书例12 查表 查表 解 查表 查表 续 例7 书例13 已知电源电压U N 220 252 单位V 通常有3种状态 电压不超过200V 电压在200 240之间 电压超过240V 在上述三种状态下 某类电子器件损坏的概率分别是0 1 0 001 0 2 1 求该类电子器件损坏的概率 2 对已经损坏的该电子器件 分析在损坏时电源电压所处的状态 解 设A 电子器件损坏 B1 电压不超过200V B2 电压在200V 240V之间 B3 电压超过240V P B1 P U 200 F 200 P B2 P 240 U 1 F 240 P B3 1 P B2 P B1 0 576 可算得 又已知 书例13已知电源电压U N 220 252 单位 V 通常有3种状态 电压不超过200V 电压在200 240之间 电压超过240V 在上述三种状态下 某类电子器件损坏的概率分别是0 1 0 001 0 2 1 求该类电子器件损坏的概率 2 对已经损坏的该电子器件 分析在损坏时电源电压所处的状态 解 设A 电子器件损坏 B1 电压不超过200V B2 电压在200V 240V之间 B3 电压超过240V P B1 P B2 0 576 由全概率公式 书例13已知电源电压U N 220 252 单位 V 通常有3种状态 电压不超过200V 电压在200 240之间 电压超过240V 在上述三种状态下 某类电子器件损坏的概率分别是0 1 0 001 0 2 1 求该类电子器件损坏的概率 2 对已经损坏的该电子器件 分析在损坏时电源电压所处的状态 解 设A 电子器件损坏 B1 电压不超过200V B2 电压在200V 240V之间 B3 电压超过240V P B1 P B2 0 576 由贝叶斯公式 例8 书例14 设已知测量误差 N 0 102 现独立重复进行100次测量 求误差绝对值超过19 6的次数不少于3有概率 解 由已知 N 0 102 故A 19 6 的概率可以算出 现独立重复进行100次 100次中A发生的次数 B 100 0 05 故所求的概率为P 3 1 P 0 P 1 P 2 n较大p较小 书例15某单位招聘155人 标准是以综合考试成绩从高到低分依次录用 现有526人报名应聘 假定考试成绩服从正态分布N 2 已知90分以上12人 60分以下83人 已知某应聘者成绩是78分 问此人能否被录用 解 此人能录用 取决于录用率和此人的成绩在所有应聘者成绩的地位 录用率 155 526 0 2947 反查正态分布表 90 60 例15某单位招聘155人 标准是以综合考试成绩从高到低分依次录用 现有526人报名应聘 假定考试成绩服从正态分布N 2 已知90分以上12人 60分以下83人 已知某应聘者成绩是78分 问此人能否被录用 解得 故该人可被录用 另法 根据录取率求出录取下限分数 也可得出结论 即录取下限分数是75分 因此该人可被录用 5 6从二项分布到正态分布 研究大量的随机现象 常常采用极限形式 由此导致对极限定理进行研究 极限定理的内容很广泛 下面介绍最常用和简单的一种中心极限定理 在实际问题中 常常需要考虑许多随机因素所产生总影响 例如 炮弹射击的落点与目标的偏差 就受着许多随机因素的影响 空气阻力所产生的误差 对我们来说重要的是这些随机因素的总影响 如瞄准时的误差 炮弹或炮身结构所引起的误差等等 又如测量误差等均是由许多随机因素影响的综合结果 人们发现炮弹落点的坐标 测量误差近似服从正态分布 观察表明 如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成 而每一个别因素在总影响中所起的作用不大 则这种量一般都服从或近似服从正态分布 下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题 当n无限增大时 这个和的极限分布是什么呢 由于无穷个随机变量之和可能趋于 故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量 的分布函数的极限 可以证明 满足一定的条件 上述极限分布是标准正态分布 独立同分布下的中心极限定理 它表明 当n充分大时 n个具有期望和方差的独立同分布的r v之和近似服从正态分布 设X1 X2 Xn是独立同分布的随机变量序列 且 Xi D Xi 2 i 1 2 n 则 列维 林德伯格 Levy Lindberg 定理 应用 虽然在一般情况下 我们很难求出X1 X2 Xn的分布的确切形式 但当n很大时 可以求出近似分布 定理 由定理1有结论成立 定理3 德莫佛 拉普拉斯定理 设随机变量服从参数为n p 0 p 1 的二项分布 DeMoivre Laplace 则对于任意x 恒有 特别地 当Xi为 0 1 分布时 即为棣莫佛 拉普拉斯定理 二项分布的正态近似 则 说明 这个公式给出了n较大时二项分布的概率计算方法 设随机变量服从参数为n p 0 p 1 的二项分布 当n充分大时有 特别地 对k 0 1 n 有 书例24 某车间有200台同类机器 每台机器在工作时需电力Q千瓦 由于工艺原因每台机器工作时间只占全部时间的75 而在任一时间内各机器是否工作是独立的 求 1 在工作时间内 任一时刻有144到160台机器在工作的概率 2 对该车间至少供应多少电功率 可以保证机器不会因缺电而影响工作的概率不小于0 99 用 表示在某时刻工作着的机器数 则 B 200 0 75 解 对每台机器的观察作为一次试验 每次试验观察该台机器在某时刻是否工作 工作的概率为0 75 共进行200次试验 n 200 p 0 75 由于n较大 故用极限定理得 由德莫佛 拉普拉斯极限定理 近似服从N 0 1 分布 P 0 m 0 99 2 设供应m台机器的电力 问题归结为求m 使 P 0 m 反查正态分布表得 也就是说 应供应165千瓦电力就能以99 的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产 书例26 假设一批种子的良种率为1 6 从中任意选出600粒 试计算这600粒种子中良种所占比例与1 6之差的绝对值不超过0 02的概率 由德莫佛 拉普拉斯定理 解 近似 N 0 1 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法 而且有助于解释为什么正态分布在自然界中极为常见这一事实 例如设某厂生产某产品的规定尺寸为25 40cm 已知某批产品的最小尺寸为25 20cm 最大尺寸为25 60cm 现从这批产品中任取100件 得到100个测量值 计算得如下频率柱形图 该呈现产品的尺寸近似为正态分布 4 2 3指数分布 指数分布密度函数图形 分布函数 指数分布分布函数图形 指数分布的期望与方差 则有 某些元件或设备的寿命服从指数分布 例如无线电元件的寿命 电力设备的寿命 动物的寿命等都服从指数分布 应用与背景 指数分布的重要性质 无记忆性 对任意的正数s t 考虑条件概率 如果将 看作某类动物的寿命 则上式可解释为某动物已活到s岁 s 则它再活t年以上的概率与已经活过的岁数无关 所又称指数分布为 永远年青 的分布 设