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Chapter3CoplanarEquilibriumAnalysis 3 1DefinitionofEquilibrium Abodyissaidtobeinequilibriumiftheresultantoftheforcesystemthatactsonthebodyvanishes Equilibriummeansthatboththeresultantforceandtheresultantcouplearezero Foracoplanarforcesystem itsresultantcanalwaysberepresentedas R F CR Mo Inscalarform Rx Fx Ry Fy CR Mo Theequationsofequilibriumare Fx 0 Fy 0 Mo 0 Fx 0 Fy 0 Mo 0 onemomentequations 1 TwomomentequationsIf MA 0andR 0RmustactthroughpointA If MB 0andRactingthroughpointB ActionlineofRislineAB If Fx 0andxnot AB thenR 0 theforcesysteminequilibrium MA 0 MB 0 Fx 0whenxisnotperpendiculartothelineAB 3 2CoplanarEquilibriumEquationa Generalcase 2 ThreemomentequationsIf MA 0 MB 0R 0RactingthroughpointAandpointB MA 0 MB 0 MC 0whenA B Careanythreenoncolinearpoints If MC 0andCisnotontheABline thenR 0 theforcesysteminequilibrium b Parallel Coplanarforcesystems Fi y Obviously Fx 0 thenequilibriumequationsare Fy 0 Mo 0or MA 0 MB 0ABlineisnotparalleltothey axis 思考 如果各力共线 结果如何 Fy 0Why Mo d Fy 0 与上式不独立 c Concurrent Coplanarforcesystems Mo 0 Fx 0 Fy 0 x yareanytwononparalleldirections or MA 0 MB 0A B Oarenotonsameline or MA 0 Fx 0 xisnotperpendiculartolineOA Sample3 1TheweightofthehoistisP1andtheweightofthebodyisP2 P1 10kN P2 40kN DeterminethereactionsatthrustbearingAandsliderbearingB Solution 1 FBD Coplanarforcesystem 2 Writeandsolveequilibriumequations Sampleproblem3 2TheweightofthestructureisP andappliedforcesareshownintheFig P 100kN M 20kN M F 400kN q 20kN m l 1m DeterminethereactionsatA Solution 1 FBD 2 Writeandsolveequilibriumequations Fx 0 FAx F1 Fsin60 0 Fy 0 FAy P Fcos60 0 MA 0 MA M F1l Fcos60 l Fsin60 3l 0 ThenegativesignforFAyandMAindicatetheircorrectsensesareoppositetothoseassumedintheFBD m Sample3 3AbeamandappliedforcesisshowninFig DeterminethereactionsofsupportAandsupportB Solution 1 FBD2 Writingandsolvingequations ThenegativesignforFAyindicateitscorrectsenseisoppositetothatassumedintheFBD Example3 4塔式起重机 towercrane 机架重P1 700KN 作用线通过塔架的中心 最大起重量P2 200KN 最大悬臂长12m 轨道AB间距4m 平衡重 equalizer P3到机身中心线距离为6m 1 保证起重机在满载和空载时都不致翻倒 平衡重应为多少 2 当P3 180KN 满载时轨道A B的约束力 Solution 1 FBD满载时起重机即将绕B点翻倒 有FA 0 P3min 3 4Staticallydeterminateproblemandstaticallyindeterminateproblem ThenumberofunknownsontheFBDequalsthenumberofindependentequations staticallydeterminateproblem Thenumberofunknownsexceedsthenumberofindependentequations staticallyindeterminateproblem Forexample 解决之道 补充方程 变形协调条件 属材料力学 3 5EquilibriumAnalysisofCompositeBodies Compositebodies 物体系是指由几个物体通过约束组成的系统 包括Frames Machines 3 3中分析平衡问题的方法适用于此 但其特点有 1 整体系统平衡 每个物体也平衡 因此 可取整体或部分系统或单个物体为研究对象 2 分清内力和外力 在受力图上不考虑内力 3 灵活选取平衡对象和列写平衡方程 尽量减少未知量 最好是一个方程解一个未知量 简捷求解 4 如系统由n个物体组成 而每个物体在平面力系作用下平衡 则有3n个独立的平衡方程 可解3n个未知量 可用不独立的方程校核计算结果 作为练习 大家可分析下述例题中独立的平衡方程数 Example3 5ThebeamsABandBCareconnectedbyapinatB Assumingthatq 15KN m M 20KNm findthereactionsatpointsA B C Solution Fortheentirestructure wehaveFCx 0 ForthebeamAB FBDasFig b F 2q Example3 6Thebridgeconsistsoftwoarches eachofweightP1 40kNactingatDorE ThearchesarepointedtogetheratAandattachedtothepierswithpinsatBandC TheloadatHisP 20kN FindthereactionsatA BandC Solution Forthebridge FBDasFig b inequilibrium Fortherightarch FBDasFig c inequilibrium Fortheentirebridge wehave X 0FBx FCx 0 FBx 20kN Solution Analysis FromtheFBDoftheentireframe 4unknowns 3independentequationsSowebeginbyconsideringtheequilibriumofABD 1 ABD MD 0Q 40 60 80 NAB 60 80 0NAB 5400N2 Entireframe MC 0Q 100 NAB 60 P 400 0Q 100 5400 60 400P 0P 100Q 60 5400 400 240NAnswer NAB YC XC Sample3 7DeterminetheforcePrequiredfortheequilibriumofthecompoundleverifQ 4200N Solution 1 AnalysisentireframeFBDshownintheFig MA 0NE 4 W 2 0 4 0NE 2 4kN2 FortheBDwiththeweight MB 0 W 0 6 W 0 4 YD 2 0YD 3kN3 CE MC 0XD 1 5 NE 2 W 1 5 0 4 YD 1 0XD 3 2kN YA XA NE NE XC YC YD XD W C W Sample3 8W 6kN Neglectingtheweightsofthebarsandthepulley findthemagnitudeofthepinreactionatD XB YB W XD YD W 3 6AnalysisofPlaneTrusses平面简单桁架 a DescriptionofaTrussAtrussisastructurethatismadeofstraight slenderbarsthatarejoinedtogethertoformapatternoftriangles Trussesareusuallydesignedtotransmitforcesoverrelativelylongspans c MethodofSections Thethreeassumptionsofanalysisoftrusses1 Theweightofthemembersarenegligible 2 Alljointsaresmoothpins 3 Theappliedforcesareatthejoints Thereforeeachmemberofatrussisatwo forcebody b MethodofJointsSincethemembersaretwo forcebodies theforcesintheFBDofajointareconcurrent Consequently twoindependentequilibriumequationsareavailableforeachjoint Inthemethodofsections apartofthetrussisisolatedonanFBDsothatitexposestheforce orforces tobecomputed Whenapplyingthemethodofsections theforcesystemswillgenerallybenon concurrent coplanar threeindependentequilibriumequations Sampleproblem3 9AtrussisshowninFig a P 10KN Determinetheforceineachmember Solution 1 TheFBDofentiretrussisshowninFig a Forthesymmetry weget FBx 0 FBy FAy P 2 5KN 2 Methodofjoint assumingtheforceineachmembertobete
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